Consistencia de tiempo

Este artículo es sobre la propiedad que mantiene una consistencia en riesgo financiero en el tiempo. Para la propiedad en teoría de juegos, ver inconsistencia dinámica.

Consistencia de tiempo es una propiedad en riesgo financiero relacionados con la medidas de riesgo dinámico. El propósito de la propiedad consistente en tiempo es categorizar la medidas de riesgo que cumplan la condición de que si la cartera (A) es más riesgoso que la cartera (B) en algún momento en el futuro, entonces está garantizado para ser más arriesgado en cualquier momento antes de ese punto. Esta es una característica importante ya que si fuera, no hay un evento (con probabilidad de que se produzca mayor que 0) tal que B es más arriesgado que A tiempo $t$ Aunque es cierto que A es más arriesgado que B al tiempo $t+1$. Como su nombre indica un tiempo incompatible medida del riesgo puede conducir a un comportamiento incoherente en gestión del riesgo financiero.

Definición matemática

Una medida del riesgo dinámico $\left(\rho_t\right)_{t=0}^{T}$ en $L^0(\mathcal{F}_T)$ es tiempo coherente si $\forall X, Y \in L^0(\mathcal{F}_T)$ y $t \in \{0,1,...,T-1\}: \rho_{t+1}(X) \geq \rho_{t+1}(Y)$ implica $\rho_t(X) \geq \rho_t(Y)$.

Definiciones equivalentes

Igualdad

Para todos $t \in \{0,1,...,T-1\}: \rho_{t+1}(X) = \rho_{t+1}(Y) \Rightarrow \rho_{t}(X) = \rho_{t}(Y)$

Recursivo

Para todos $t \in \{0,1,...,T-1\}: \rho_t(X) = \rho_t(-\rho_{t+1}(X))$

Conjunto de aceptación

Para todos $t \in \{0,1,...,T-1\}: A_t = A_{t,t+1} + A_{t+1}$ donde $A_t$ es el momento $t$ conjunto de aceptación y $A_{t,t+1} = A_t \cap L^p(\mathcal{F}_{t+1})$

Cociclo condición (para medidas de riesgo convexo)

Para todos $t \in \{0,1,...,T-1\}: \alpha_t(Q) = \alpha_{t,t+1}(Q) + \mathbb{E}^{Q}[\alpha_{t+1}(Q) \mid \mathcal{F}_t]$ donde $\alpha_t(Q) = \operatorname*{ess sup}_{X \in A_t} \mathbb{E}^{Q}[-X \mid \mathcal{F}_t]$ es la mínima función de la pena (donde $A_t$ es un conjunto de aceptación y $\operatorname*{ess sup}$ denota el supremum esencial) en el tiempo $t$ y $\alpha_{t,t+1}(Q) = \operatorname*{ess sup}_{X \in A_{t,t+1}} \mathbb{E}^{Q}[-X \mid \mathcal{F}_t]$.

Construcción

Debido a la característica recurrente es simple construir una medida de riesgo constante de tiempo. Esto se hace por componer un período medidas con el tiempo. Esto significa que:

• $\rho^{com}_{T-1} := \rho_{T-1}$
• $\forall t < T-1: \rho^{com}_t := \rho_t(-\rho^{com}_{t+1})$

Ejemplos

Valor en riesgo y promedio de valor en riesgo

Ambas dinámicas valor en riesgo y dinámico promedio del valor en riesgo No son un tiempo mide el riesgo constante.

Alternativa consistente de tiempo

La alternativa consistente de tiempo al valor medio dinámico en riesgo con parámetro $\alpha_t$ en el tiempo t se define por

$\rho_t(X) = \text{ess}\sup_{Q \in \mathcal{Q}} E^Q[-X|\mathcal{F}_t]$

tal que $\mathcal{Q} = \left\{Q \in \mathcal{M}_1: E\left[\frac{dQ}{dP}|\mathcal{F}_j\right] \leq \alpha_{j-1} E\left[\frac{dQ}{dP}|\mathcal{F}_{j-1}\right] \forall j = 1,...,T\right\}$.

Dinámica superhedging precio

La dinámica precio superhedging es una medida de riesgo constante de tiempo.

Riesgos antrópicos dinámico

La dinámica medida del riesgo entrópica es una medida de riesgo constante de tiempo si el aversión al riesgo parámetro es constante.

Tiempo continuo

En tiempo continuo, una medida de riesgo coherente consistente de tiempo puede ser dado por:

$\rho_g(X) := \mathbb{E}^g[-X]$

para un sublinear selección de función $g$ donde $\mathbb{E}^g$ denota un g-expectativa. Si la función $g$ es convexo, entonces la medida del riesgo correspondiente es convexa.

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