Entrópico valor en riesgo

En matemáticas financieras y Optimización Estocástica, el concepto de medida del riesgo se utiliza para cuantificar el riesgo de un resultado aleatorio o posición del riesgo. Hasta ahora se han propuesto muchas medidas de riesgo, cada uno con ciertas características. El entrópico value-at-risk (EVaR) es un medida de riesgo coherente introducido por Ahmadi-Javid, que es un límite superior para el valor en riesgo (VaR) y la valor en riesgo condicional (CVaR), obtenidos de la Desigualdad Chernoff. El EVaR también puede ser representado mediante el uso del concepto de entropía relativa. Debido a su conexión con el VaR y la entropía relativa, esta medida del riesgo se llama "entrópico value-at-risk". El EVaR fue desarrollado para hacer frente a algunas ineficiencias computacionales de la variable. Obtener inspiración de la representación dual de la EVaR, Ahmadi-Javid desarrollado una amplia clase de medidas de riesgo coherentes, llamado medidas de riesgo g-entrópico. El CVaR tanto el EVaR son miembros de esta clase.

Definición

Dejar $(\Omega,\mathcal{F},P)$ ser un espacio probabilístico con $\Omega$ un conjunto de todos los eventos simples, $\mathcal{F}$ un $\sigma$-Álgebra de subconjuntos de $\Omega$ y $P$ un medida de la probabilidad en $\mathcal{F}$. Dejar $X$ ser un variable aleatoria y $\mathbf{L}_{M^+}$ el conjunto de todos Borel mensurable funciones $X:\Omega\rightarrow \R$ cuyo Función generadora de momento $M_X(z)$ existe para todos $z\geq 0$. La entrópica value-at-risk (EVaR) de $X\in \mathbf{L}_{M^+}$ con nivel de confianza $1-\alpha$ se define como sigue:

$\text{EVaR}_{1-\alpha}(X):=\inf_{z>0}\{z^{-1}\ln(M_X(z)/\alpha)\}. \,$

   

(1)

En finanzas, el variable aleatoria $X \in \mathbf{L}_{M^+}$, en la ecuación anterior, se utiliza al modelo de la pérdidas de una cartera.

Considerar la desigualdad Chernoff

$\text{Pr}(X\geq a)\leq e^{-za}M_X(z),\quad \forall z>0.\,$

   

(2)

Resolviendo la ecuación $e^{-za}M_X(z)=\alpha$ para $a$, resulta en $a_X(\alpha,z):=z^{-1}\ln(M_X(z)/\alpha)$. Teniendo en cuenta la ecuación)1), vemos que $\text{EVaR}_{1-\alpha}(X):=\inf_{z>0}\{a_X(\alpha,z)\}$, que muestra la relación entre el EVaR y la desigualdad Chernoff. Es importante destacar $a_X(1,z)$ es el medida del riesgo entrópica o exponencial premium, que es un concepto usado en finanzas y seguros, respectivamente.

Dejar $\mathbf{L}_{M}$ el conjunto de todas las funciones medibles de Borel $X:\Omega\rightarrow \R$ cuya función generadora de momento $M_X(z)$ existe para todos $z$. El representación doble (o representación sólida) de la EVaR es como sigue:

$\text{EVaR}_{1-\alpha}(X)=\sup_{Q\in \Im}(E_Q(X))\,$

   

(3)

donde $X\in \mathbf{L}_{M}$, y $\Im$ es un conjunto de medidas de probabilidad en $(\Omega,\mathcal{F})$ con $\Im=\{Q\ll P:D_{KL}(Q||P)\leq-\ln\alpha\}$. Tenga en cuenta que $D_{KL}(Q||P):=\int\frac{dQ}{dP}(\ln\frac{dQ}{dP})dP$ es el entropía relativa de $Q$ con respecto a $P$, también llamado el Divergencia de Kullback-Leibler. La representación dual de la EVaR revela el motivo de su nombramiento.

Propiedades

• El EVaR es una medida de riesgo coherente.
• La función generadora de momento $M_X(z)$ puede ser representado por el EVaR: para todos $X\in \mathbf{L}_{M^+}$ y $z>0$

$M_X(z)=\sup_{0<\alpha\leq 1}\{\alpha\exp(z\text{EVaR}_{1-\alpha}(X))\}.\,$

   

(4)

• Para $X,Y\in\mathbf{L}_M$, $\text{EVaR}_{1-\alpha}(X)=\text{EVaR}_{1-\alpha}(Y)$ para todos $\alpha\in]0,1]$ Si y sólo si $F_X(b)=F_Y(b)$ para todos $b\in\R$.
• La medida del riesgo entrópica con parámetro $\theta$, puede ser representado mediante el EVaR: para todos $X\in \mathbf{L}_{M^+}$ y $\theta>0$

$\theta^{-1}\ln M_X(\theta)=a_X(1,\theta)=\sup_{0<\alpha\leq 1}\{\text{EVaR}_{1-\alpha}(X)+\theta^{-1}\ln\alpha\}.\,$

   

(5)

• El EVaR con nivel de confianza $1-\alpha$ es el límite superior posible más apretado que pueden obtenerse de la desigualdad Chernoff para el VaR y el CVaR con nivel de confianza $1 - \alpha$;

$\text{VaR}(X)\leq \text{CVaR}(X)\leq\text{EVaR}(X).\,$

   

(6)

• La desigualdad siguiente depara el EVaR:

$\text{E}(X)\leq\text{EVaR}_{1-\alpha}(X)\leq\text{esssup}(X)\,$

   

(7)

donde $\text{E}(X)$ es el valor esperado de $X$ y $\text{esssup}(X)$ es el supremum esencial de $X$, es decir, $\inf_{t\in\R}\{t:\text{Pr}(X\leq t)=1\}$. Así que no $\text{EVaR}_0(X)=\text{E}(X)$ y $\lim_{\alpha\rightarrow 0}\text{EVaR}_{1-\alpha}(X)=\text{esssup}(X)$.

Ejemplos

Comparando el VaR, CVaR y EVaR para la distribución normal estándar

Comparando el VaR, CVaR y EVaR para la distribución uniforme en el intervalo (0,1)

Para $X\sim N(\mu,\sigma)$,

$\text{EVaR}_{1-\alpha}(X)=\mu+\sqrt{-2\ln\alpha}\sigma.\,$

   

(8)

Para $X\sim U(a,b)$,

$\text{EVaR}_{1-\alpha}(X)=\inf_{t>0}\left\lbrace t\ln\left(t\frac{e^{t^{-1}b}-e^{t^{-1}a}}{b-a}\right)-t\ln\alpha \right\rbrace. \,$

   

(9)

Las figuras 1 y 2 muestran la comparación del VaR, CVaR y EVaR para $N(0,1)$ y $U(0,1)$.

Optimización

Dejar $\rho$ ser una medida de riesgo. Considerar el problema de optimización

$\min_{\boldsymbol{w}\in \boldsymbol{W}}\rho(G(\boldsymbol{w},\boldsymbol{\psi}))\,$

   

(10)

donde $\boldsymbol{w}\in\boldsymbol{W}\subseteq\R^n$ es un $n$-dimensional real vector de decisión, $\boldsymbol{\psi}$ es un $m$-dimensional real vector aleatorio con un conocido distribución de probabilidad y la función $G(\boldsymbol{w},.):\R^m\rightarrow\R$ es una función medible Borel para todos los valores $\boldsymbol{w}\in\boldsymbol{W}$. If $\rho$ es el $\text{EVaR}$, entonces el problema (10) se convierte como sigue:

$\min_{\boldsymbol{w}\in\boldsymbol{W}, t>0}\{t\ln M_{G(\boldsymbol{w},\boldsymbol{\psi})}(t^{-1})-t\ln\alpha\}.\,$

   

(11)

Dejar $\boldsymbol{S}_{\boldsymbol{\psi}}$ ser el soporte del vector aleatorio $\boldsymbol{\psi}$. If $G(.,\boldsymbol{s})$ es convexo para todos $\boldsymbol{s}\in\boldsymbol{S}_{\boldsymbol{\psi}}$, entonces la función objetivo de la (problema11) también es convexo. If $G(\boldsymbol{w},\boldsymbol{\psi})$ tiene la forma

$G(\boldsymbol{w},\boldsymbol{\psi})=g_0(\boldsymbol{w})+\sum_{i=1}^mg_i(\boldsymbol{w})\psi_i,\quad g_i:\R^n\rightarrow\R, i=0,1,\dots,m,\,$

   

(12)

y $\psi_1,\dots,\psi_m$ son variables aleatorias independientes en $\mathbf{L}_M$, entonces ()11) se convierte en

$\min_{\boldsymbol{w}\in\boldsymbol{W}, t>0}\left\lbrace g_0(\boldsymbol(w))+t\sum_{i=1}^m\ln M_{g_i(\boldsymbol(w))\psi_i}(t^{-1})-t\ln\alpha \right\rbrace.\,$

   

(13)

que es computacionalmente manejable. Pero para este caso, si uno utiliza el CVaR en problema (10), entonces el problema resultante se convierte como sigue:

$\min_{\boldsymbol{w}\in\boldsymbol{W}, t\in\R}\left\lbrace t+\frac{1}{\alpha}\text{E}\left[ g_0(\boldsymbol{w})+\sum_{i=1}^{m}g_i(\boldsymbol{w}) \psi_i-t \right]_+ \right\rbrace.\,$

   

(14)

Puede ser demostrado al aumentar la dimensión de $\psi$, (problema14) es computacionalmente intratable incluso para casos sencillos. Por ejemplo, supongamos $\psi_1,\dots,\psi_m$ son independientes variables aleatorias discretas esa toma $k$ valores distintos. Para valores fijos de $\boldsymbol{w}$ y $t$, la complejidad de la función objetivo dada en (problema de computación13) es de orden $mk$ mientras el tiempo de computación para la función objetivo del problema)14) es de orden $k^m$. Por ejemplo, asuma que $k= 2$, $m= 100$ y lleva a la suma de dos números $10^{-12}$ segundos. Para calcular la función objetivo del problema)14) uno necesita sobre $4\times 10^{10}$ años, considerando que la evaluación de la función objetivo del problema ()13) tarda aproximadamente $10^{-10}$ segundos. Esto demuestra que la formulación con la EVaR supera la formulación con el CVaR (véase para más detalles).

Generalización (medidas de riesgo g-entrópico)

Inspirándose en la representación dual de la EVaR dada en)3), se puede definir una amplia clase de medidas de riesgo coherentes información teórica, que se introducen en. Dejar $g$ ser una convexa funcionamiento con $g(1)=0$ y $\beta$ ser un número no negativo. El $g$-medida del riesgo entrópica con nivel de divergencia $\beta$ se define como

$\text{ER}_{g,\beta}(X):=\sup_{Q\in\Im}\text{E}_Q(X)\,$

   

(15)

donde $\Im=\{Q\ll P:H_g(P,Q)\leq\beta\}$ en el cual $H_g(P,Q)$ es el entropía generalizada relativa de $Q$ con respecto a $P$. Una representación primitiva de la clase de $g$-medidas de riesgos antrópicos pueden obtenerse de la siguiente manera:

$\text{ER}_{g,\beta}(X)=\inf_{t>0,\mu\in\R}\left\lbrace t\left[ \mu+\text{E}_P\left( g^*\left( \frac{X}{t}-\mu+\beta \right) \right) \right] \right\rbrace\,$

   

(16)

donde $g^*$ es el conjugado de $g$. Teniendo en cuenta

$g(x)=\begin{cases} x\ln x & x>0 \\ 0 & x=0 \\ +\infty & x<0, \end{cases} \,$

   

(17)

con $g^*(x)=e^{x-1}$ y $\beta=- \ln\alpha$, se deduce la fórmula EVaR. El CVaR es también un $g$-medida del riesgo entrópico, que puede obtenerse en ()16) mediante el establecimiento de

$g(x)=\left\lbrace \begin{array}{lr} 0 & 0\leq x\leq \frac{1}{\alpha} \\ +\infty & \text{otherwise}, \end{array} \right. \,$

   

(18)

con $g^*(x)=\frac{1}{\alpha}\max\{0,x\}$ y $\beta=0$ (véase para más detalles).

Para obtener más resultados en $g$-Ver medidas de riesgos antrópicos.

Véase también

• Optimización Estocástica
• Medida del riesgo
• Medida de riesgo coherente
• Valor en riesgo
• Valor en riesgo condicional
• Déficit esperado
• Medida del riesgo entrópica
• Divergencia de Kullback-Leibler
• Entropía generalizada relativa

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