Regla de 72

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En Finanzas, la regla de 72, la regla de 70 y el regla de 69.3 son métodos para estimar un inversiónes tiempo de duplicación. El regla número (por ejemplo, 72) se divide por el porcentaje de interés por período para obtener el número aproximado de períodos (generalmente años) necesaria para doblar. Aunque Calculadoras científicas y hoja de cálculo los programas tienen funciones para encontrar el tiempo de duplicación exacto, las reglas son útiles para cálculo mental y cuando sólo un básico Calculadora se encuentra disponible.[1]

Estas reglas aplican a crecimiento exponencial y por lo tanto se utilizan para interés compuesto a diferencia de interés simple cálculos. También pueden utilizarse para decaimiento para obtener un tiempo reducir. La elección del número es sobre todo una cuestión de preferencia, 69 es más exacta para capitalización continua, mientras que 72 funciona bien en situaciones de interés común y es más fácilmente divisible. Hay un número de variaciones a las normas que mejoran la exactitud. Para capitalización periódica, el Exacto tiempo para un tipo de interés de duplicación r por un periodo de es

T = \frac{\ln(2)}{\ln(1+r)},

donde T es el número de períodos requeridos. La fórmula anterior puede utilizarse para más de calcular el tiempo de duplicación. Si quieres saber el tiempo tripling, por ejemplo, simplemente reemplazar la constante 2 en el numerador con 3. Como otro ejemplo, si quieres saber el número de períodos que se necesita para que el valor inicial aumentará en un 50%, reemplace la constante 2 con 1.5.

Contenido

  • 1 Usando la regla para calcular períodos de composición
  • 2 Elección de la regla
  • 3 Historia
  • 4 Ajustes para una mayor precisión
    • 4.1 Regla E-M
  • 5 Otras reglas
  • 6 Derivación
    • 6.1 Capitalización periódica
    • 6.2 Capitalización continua
  • 7 Véase también
  • 8 Referencias
  • 9 Enlaces externos

Usando la regla para calcular períodos de composición

Para estimar el número de períodos necesarios para duplicar la inversión original, divida la más conveniente "regla-cantidad" por la tasa de crecimiento esperada, expresada como un porcentaje.

  • Por ejemplo, si fueras a invertir $100 con interés compuesto a una tasa del 9% anual, la regla de 72 da 72/9 = 8 años requeridos para que la inversión valdrá $200; un cálculo exacto da ln(2)/ln(1+.09) = 8,0432 años.

Del mismo modo, para determinar el tiempo que tarda el valor del dinero a la mitad a un ritmo determinado, divida la cantidad de regla por esa tasa.

  • Para determinar el momento para dineroes poder de compra para reducir a la mitad los financistas simplemente dividen la regla-cantidad por la tasa de inflación. Así en el 3,5% inflación usando el regla de 70, debe tomar aproximadamente 70/3.5 = 20 años por el valor de una unidad de moneda para reducir a la mitad.
  • Para estimar el impacto de cuotas adicionales en las políticas financieras (por ejemplo, los gastos y cuotas de fondos mutuos, cargos de carga y los gastos en seguro de vida universal variable carteras de inversión), divida 72 por la cuota. Por ejemplo, si la póliza de vida Universal cobra un 3% por encima de los gastos del fondo de inversión subyacente, entonces el valor total de la cuenta se cortará a 1/2 en 72 / 3 = 24 años y luego a sólo 1/4 el valor de 48 años, en comparación con mantiene exactamente la misma inversión fuera de la política.

Elección de la regla

El valor de 72 es una opción conveniente del numerador, ya que tiene muchos pequeños divisores:: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 y 12. Proporciona una buena aproximación para capitalización anual y agravando a tasas típicas (del 6% al 10%). Las aproximaciones son menos precisas en tasas de interés.

Para capitalización continua, 69 da resultados exactos para cualquier tasa. Esto es porque ln(2) es de 69,3%; ver más abajo de la derivación. Puesto que diariamente es lo suficientemente cerca para capitalización continua, para propósitos más 69, 69.3 o 70 son mejores que 72 para capitalización diaria. Para tasas anuales más bajas que los anteriores, también sería más preciso que 72 69.3.

Tasa Años reales Regla de 72 Regla de 70 Regla de 69.3 72 ajustado Regla E-M
0.25% 277.605 288.000 280.000 277.200 277.667 277.547
0.5% 138.976 144.000 140.000 138.600 139.000 138.947
1% 69.661 72.000 70.000 69.300 69.667 69.648
2% 35.003 36.000 35.000 34.650 35.000 35.000
3% 23.450 24.000 23.333 23.100 23.444 23.452
4% 17.673 18.000 17.500 17.325 17.667 17.679
5% 14.207 14.400 14.000 13.860 14.200 14.215
6% 11.896 12.000 11.667 11.550 11.889 11.907
7% 10.245 10.286 10.000 9.900 10.238 10.259
8% 9006 9.000 8.750 8.663 9.000 9.023
9% 8.043 8.000 7.778 7.700 8.037 8.062
10% 7.273 7.200 7.000 6.930 7.267 7.295
11% 6.642 6.545 6.364 6.300 6.636 6.667
12% 6.116 6.000 5.833 5.775 6.111 6.144
15% 4959 4.800 4.667 4620 4.956 4.995
38g 4188 4.000 3.889 3850 4.185 4.231
20% 3.802 3.600 3.500 3.465 3.800 3850
25% 3.106 2.880 2.800 2.772 3.107 3.168
30% 2.642 2.400 2.333 2.310 2.644 2.718
40% 2.060 1.800 1.750 1.733 2.067 2.166
50% 1.710 1.440 1.400 1.386 1.720 1.848
60% 1,475 1.200 1.167 1.155 1.489 1.650
70% 1.306 1.029 1.000 0.990 1.324 1.523

Historia

Una primera referencia a la regla está en el Summa de arithmetica (Venecia, 1494. Fol. 181, n. 44) de Luca Pacioli (1445-1514). La regla se presenta en una discusión con respecto a la estimación del tiempo de duplicación de una inversión, pero no derivan ni explicar la regla, y por lo tanto se supone que la regla anterior a Pacioli por algún tiempo.

Traducido:

Ajustes para una mayor precisión

Para tasas más altas, más grande numerador sería mejor (por ejemplo, para un 20%, utilizando 76 3,8 años sería sólo de 0.002 apagado, donde usando 72 a 3.6 sería sobre 0.2). Esto es porque, como anteriormente, la regla de 72 es sólo una aproximación que es precisa para las tasas de interés del 6% al 10%. Exterior que abarcan el error variará de 2,4% a −14.0%. Por cada tres puntos de 8% el valor 72 podría ajustarse por 1.

 t \approx \frac{72 + (r - 8)/3}{r}

o por el mismo resultado, pero más simple:

 t \approx \frac{70 + (r - 2)/3}{r}
 t \approx \frac{69.3}{r} + 0.33

Regla E-M

La regla de segundo orden Eckart-McHale, la regla E-M, proporciona una corrección multiplicativa para la regla de 69.3 que es muy precisa para las tasas de 0% a 20%. La regla de 69.3 normalmente sólo es exacta en el extremo inferior de las tasas de interés, desde 0% a 5%. Para calcular la aproximación E-M, simplemente multiplique la regla del resultado 69,3 por 200 /(200-r) de la siguiente manera:

 t \approx \frac{69.3}{r} \times \frac{200}{200-r}

Por ejemplo, si la tasa de interés es del 18%, dice la regla de 69.3 t = años 3,85. La regla E-M multiplica esto por 200/(200-18), dar un tiempo de duplicación de 4,23 años, donde el tiempo de duplicación real a este ritmo es años 4,19. (La regla E-M así da una mejor aproximación que la regla del 72).

Tenga en cuenta que si el numerador aquí es simplemente 69,3 veces 200. Mientras el producto se mantiene constante, los factores pueden ser modificados arbitrariamente. La regla E-M así puede escribirse también como

 t \approx \frac{70}{r} \times \frac{198}{200-r} o  t \approx \frac{72}{r} \times \frac{192}{200-r}

con el fin de mantener el producto en su mayoría sin cambios. En estas variantes, la corrección multiplicativa se convierte 1 respectivamente para r = 2 y r = 8, los valores para el cual la regla del 70 (72 respectivamente) es más precisa.

Del mismo modo, el 3er-orden Aproximante Padé da una respuesta más precisa sobre una gama aún mayor de r, pero tiene una fórmula un poco más complicada:

 t \approx \frac{69.3}{r} \times \frac{600+4r}{600+r}

Otras reglas

Extender la regla de 72 fuera más lejos, otras aproximaciones puede determinarse para triplicar y cuadruplicar. Para estimar el tiempo que tomaría para triplicar su dinero, uno puede utilizar 114 en lugar de 72 y, por cuadruplicado, utilizar 144.

Derivación

Capitalización periódica

Para capitalización periódica, valor futuro viene dada por:

FV = PV \cdot (1+r)^t

donde PV es el valor actual, t es el número de períodos de tiempo, y r representa la tasa de interés por período de tiempo.

El valor futuro es el doble del valor presente cuando se cumple la condición siguiente:

(1+r)^t = 2\,

Esta ecuación se resuelve fácilmente para t:


  \begin{array}{ccc}
            \ln((1+r)^t) & = & \ln 2                  \\
    t \cdot \ln(1+r)   & = & \ln 2                  \\
    t                  & = & \frac{\ln 2}{\ln(1+r)}
  \end{array}

If r es pequeño, entonces ln(1 + r) aproximadamente igual a r (este es el primer término en la Series de Taylor). Junto con la aproximación ln(2) \approx 0.693147, esto da:

t \approx \frac{0.693147}{r}

que mejora en la precisión como el compuestos de interés llega a ser continuo (véase la derivación más abajo).

Sin embargo, los seres humanos tienden a preferir realizar cálculos mentales con porcentajes, entonces la fórmula a menudo se reafirmó como sigue:


  \begin{array}{ccc}
    t & \approx & \frac{0.693147}{r}               \\ & & \\
      &    =    & \frac{0.693147}{R\%}              \\ & & \\
      &    =    & \frac{0.693147}{R \frac{1}{100}} \\ & & \\
      &    =    & \frac{0.693147 \cdot 100}{R}     \\ & & \\
      &    =    & \frac{69.3147}{R}                \\ & & \\
      & \approx & \frac{70}{R}
  \end{array}

Para derivar los ajustes más precisos que se presenta arriba, se observa que \ln(1+r)\, se aproxima más de cerca por r - \frac{r^2}{2} (usando el segundo término en la Series de Taylor). \frac{0.693}{r - r^2/2} puede entonces ser más simplificado por aproximaciones de Taylor:


  \begin{array}{ccc}
    \frac{0.693}{r - r^2/2} & = & \frac{69.3}{R - R^2/200} \\  & & \\
      &    =    & \frac{69.3}{R}    \frac{1}{1-R/200}      \\  & & \\
      & \approx & \frac{69.3 (1+R/200)}{R}                 \\  & & \\
      &    =    & \frac{69.3}{R}+\frac{69.3}{200}          \\  & & \\
      &    =    & \frac{69.3}{R}+0.34\end{array}

Reemplazando la "R" en R/200 en la tercera línea con 7,79 da 72 en el numerador. Esto demuestra que la regla del 72 es más precisa para intereses periódicamente compuestos alrededor del 8%.

Alternativamente, la norma E-M se obtiene si se utiliza la aproximación de Taylor de segundo orden directamente.

Capitalización continua

Para capitalización continua, la derivación es más simple y rinde una regla más precisa:


  \begin{array}{ccc}
        (e^r)^p &    =    &           2        \\
        e^{rp}  &    =    &           2        \\
    \ln e^{rp}  &    =    &       \ln 2        \\
           rp   &    =    &       \ln 2        \\
            p   &    =    & \frac{\ln 2}{r}    \\
                &         &                    \\
            p   & \approx & \frac{0.693147}{r}
  \end{array}

Véase también

  • Crecimiento exponencial
  • Valor temporal del dinero
  • Interés
  • Descuento
  • Regla de 16

Referencias

  1. ^ Slavin, Steve (1989). Todos los cálculos que necesitará. John Wiley & Sons. págs. 153 – 154. ISBN0-471-50636-2.

Enlaces externos

  • Las escalas de 70 – se extiende la regla de 72 más allá del crecimiento de la tasa de interés fija de crecimiento compuesto de tasa variable incluyendo tasas positivas y negativas.
  • Una nota sobre la regla de 72 o cuánto tiempo tarda para duplicar tu dinero, La sociedad de analistas de inversión de Sudáfrica
  • Regla de 72 calculadora, moneychimp.com
  • Regla de 72 herramienta de aprendizaje, directinvesting.com
  • Matemáticas financieras, ExcelExchange

Otras Páginas

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