Cono de solvencia

El cono de solvencia es un concepto utilizado en matemáticas financieras que modela las posibles operaciones en el mercado financiero. Esto es de particular interés para los mercados con costos de transacción. En concreto, es el cono convexo de las carteras pueden intercambiarse a las carteras de los componentes no negativo (incluido el pago de los gastos de transacción).

Matemáticamente

Si se les da un matriz de oferta-demanda $\Pi$ para $d$ los activos que $\Pi = \left(\pi^{ij}\right)_{1 \leq i,j \leq d}$ y $m \leq d$ es el número de activos que con cualquier cantidad no negativos de ellos pueden ser "desechados" (tradicionalmente $m = d$). Entonces el cono de solvencia $K(\Pi) \subset \mathbb{R}^d$ es el cono convexo atravesado por los vectores de la unidad $e^i, 1 \leq i \leq m$ y los vectores $\pi^{ij}e^i-e^j, 1 \leq i,j \leq d$.

Definición

Un cono de solvencia $K$ nada está cerrado cono convexo tal que $K \subseteq \mathbb{R}^d$ y $K \supseteq \mathbb{R}^d_+$.

Usos

Un proceso de conos de solvencia (al azar) $\left\{K_t(\omega)\right\}_{t=0}^T$ es un modelo de un mercado financiero. Esto a veces se llama un proceso de mercado.

La negativa de un cono de solvencia es el conjunto de carteras que pueden obtenerse a partir de la cartera de cero. Esto está íntimamente relacionada con carpetas de autofinanciación.

El doble cono de la solvencia del cono)$K^+ = \left\{w \in \mathbb{R}^d: \forall v \in K: 0 \leq w^Tv\right\}$) es el conjunto de precios que definiría una menos fricción sistema para los activos que es consistente con el mercado de precios. Esto también se llama un sistema de precios constante.

Ejemplos

Cono de solvencia muestra sin costes de transacción

Cono de solvencia de muestra con los costos de transacción

Asumir que hay 2 activos, A y M con 1 a 1 intercambio posible.

Mercado sin fricción

En un mercado sin fricción, obviamente podemos hacer (1A, M-1) y (-1A, 1 M) en carteras no negativos, por lo tanto $K = \{x \in \mathbb{R}^2: (1,1)x \geq 0\}$. Tenga en cuenta que (1,1) es el "vector de precios".

Con los costos de transacción

Además asume que hay un 50% los costos de transacción para cada negocio. Esto significa que (1A, M-1) y (-1A, 1 M) no pueden ser intercambiados en carpetas no negativo. Pero, (2A, M-1) y (-1A, 2 M) pueden ser negociados en carteras no negativo. Puede verse que $K = \{x \in \mathbb{R}^2: (2,1)x \geq 0, (1,2)x \geq 0\}$.

El cono doble de los precios así es más fácil de ver en términos de precios de la A en términos de M (y similar hecho por precio de M en términos de A):

• alguien le ofrece 1A para tM: $(0,t) \rightarrow (1,0) \rightarrow (0,\frac{1}{2})$ por lo tanto hay arbitraje si $t < \frac{1}{2}$
• alguien le ofrece tM para 1A: $(1,0) \rightarrow (0,t) \rightarrow (\frac{t}{2},0)$ por lo tanto hay arbitraje si $t > 2$

Notas

Si un cono de solvencia $K$:

• contiene una línea, entonces no hay un cambio posible sin los costos de transacción.
• $K = \mathbb{R}^d_+$, entonces no hay ningún intercambio posible, es decir, el mercado está totalmente ilíquidos.

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