Continuo de pago hipotecario

El efecto de ganar 20% de interés anual en una inversión inicial de $1.000 en varias frecuencias compuestas

Análogo a capitalización continua, una anualidad continua es un anualidad ordinaria en el que el intervalo de pago se enangosta indefinidamente. (Teórico) hipoteca pago continuo es un préstamo hipotecario pagado por medio de una anualidad continua.

Hipotecas (es decir, los préstamos hipotecarios) se colocan generalmente en un período de años por una serie de pagos regulares fijos comúnmente como un anualidad. Cada pago se acumula interés compuesto desde el momento del depósito hasta el final de la hipoteca timespan en ese momento la suma de los pagos con sus intereses acumulados es igual al valor del préstamo con interés compuesto durante el período entero. Préstamo dado P₀, por período la tasa de interés i, número de períodos de n y por período pago fijo x, el final del plazo equilibrar la ecuación es:

$P_0(1+i)^{n} = \sum_{k=1}^n x(1+i)^{n-k}=\frac{x[(1+i)^n - 1]}{i}$

Suma puede ser computado usando la fórmula estándar para la adición de un secuencia geométrica.

En una hipoteca de pago continuo (teórica) el intervalo de pago se enangosta indefinidamente hasta el intervalo discreto proceso llega a ser continuo y se convierten en los pagos de intervalo fijo — en efecto — un efectivo literal "flujo" a una tasa anual fija. En este caso, dado el préstamo P₀, tasa de interés anual r, préstamo timespan T (años) y tasa anual M_a, la infinitesimal elementos de flujo de efectivo M_aδt se acumulan interés compuesto continuamente de tiempo t hasta el final del período de préstamo en este punto es la ecuación de equilibrio:

$P_0e^{rT}=\int\limits_{0}^{T} M_ae^{r(T-t)}\, dt=\frac{M_a(e^{rT}-1)}{r}.$

Suma de los elementos de flujo de efectivo e intereses acumulados se efectúa mediante la integración como se muestra. Se supone que el intervalo de composición e intervalo de pago son equal—i.e., compuestos de interés siempre ocurre al mismo tiempo, como se deduce el pago.

En el período del préstamo la función de equilibrio continuo hipoteca obedece a un primer orden ecuación diferencial lineal (LDE) y una derivación alternativa puede obtenerse mediante la resolución de la LDE utilizando el método de De Laplace.

Aplicación de la ecuación obtiene un número de resultados relevantes para el proceso financiero que describe. Aunque este artículo se centra principalmente en las hipotecas, los métodos empleados son relevantes para cualquier situación en la que pago o ahorro se efectúa mediante un flujo regular de pagos de intervalo fijo (anualidad).

Derivación de la ecuación de tiempo-continuo

La fórmula clásica para el valor presente de una serie de n cantidad de pagos mensuales fijos x invertido a una tasa de interés mensual i% es:

$P_v(n) = \frac{x(1 - (1 + i)^{-n})}{i}$

La fórmula puede ser se reorganizan para determinar el pago mensual x en un préstamo de la cantidad P₀ sacado por un período de n meses a una tasa de interés mensual dei%:

$x = \frac{P_0\cdot i}{1 - (1 + i)^{-n}}$

Comenzamos con un pequeño ajuste de la fórmula: reemplazar i con r/N donde r es la tasa de interés anual y N es la frecuencia anual de composición (períodosN = 12 pagos mensuales). También substituir n con NT donde T es el período total del préstamo en años. En esta forma más general de la ecuación que estamos calculando x(N) como el pago fijo correspondiente a la frecuencia N. Por ejemplo si N= 365, x corresponde a un pago fijo diario. Como N aumenta, x(N) disminuye pero el producto N·x(N) enfoques una limitación de valor como aparecerá:

$x(N) = \frac{P_0\cdot r}{N(1 - (1 + \frac{r}{N})^{-NT})}$

$N\cdot x(N) = \frac{P_0\cdot r}{1 - (1 + \frac{r}{N})^{-NT}}$

Tenga en cuenta que N·x(N) es simplemente la cantidad pagada por año – en efecto una tasa anual de amortización M_a.

Está bien establecido que:

$\lim_{N\to\infty}\left(1+\frac{r}{N}\right)^{Nt}=e^{rt}$

Aplicar el mismo principio que la fórmula de pago anual, podemos determinar un valor límite:

$M_a=\lim_{N\to\infty}N\cdot x(N)=\lim_{N\to\infty}\frac{P_0\cdot r}{1 - (1 + \frac{r}{N})^{-NT}}=\frac{P_0\cdot r}{1 - e^{-rT}}.$

En este momento en la fórmula ortodoxa de valor presente, el último es más bien representado en función de la frecuencia anual de composición N y el tiempot:

$P_v(N,t)=\frac{N\cdot x(N)(1 - (1 + \frac{r}{N})^{-Nt})}{r}$

Aplicando la expresión limitante desarrollada por encima de nosotros puede escribir valor presente como una función dependiente del tiempo puramente:

$P_v(t)=\lim_{N\to\infty}P_v(N,t)=\frac{M_a}{r}(1-e^{-rt})$

Figura 1

Tomando nota de que el saldo adeudado P(t) de un préstamo t años después de su creación es simplemente el valor actual de las contribuciones para el período restante (es decir T−t), determinamos:

$P(t) = \frac{M_a}{r}(1 - e^{-r(T-t)})=\frac{P_0(1 - e^{-r(T-t)})}{1 - e^{-rT}}$

El graph(s) en el diagrama es una comparación del equilibrio debido a una hipoteca (1 millón por 20 años @ r = 10%) calculado en primer lugar según el modelo continuo tiempo anterior y en segundo lugar, utilizando la función de Excel PV. Como puede verse que las curvas son prácticamente indistinguibles – cálculos efectuados utilizando el modelo difieren de los efectuados utilizando la función de Excel PV por un mero 0,3% (máximo). Pueden ver los datos de la que se deriva del graph(s) aquí.

Comparación con similares sistemas físicos

Definir la variable "revertir el tiempo" z = T−t. (t= 0, z=T y t=T, z= 0). A continuación:

Grafica en el eje normalizado al sistema de tiempo constante) τ = 1 / r años y τ = RC los segundos respectivamente) la función de balance de la hipoteca en un CRM (verde) es un reflejo de la curva de respuesta de paso por un circuito RC (azul).El eje vertical se normaliza a asíntota de sistema, es decir valor de perpetuidad M _a/r de CRM y voltaje aplicado V ₀ para el circuito RC.

$P(z) = \frac{M_a}{r}(1 - e^{-rz}).$

Esto puede ser reconocido como una solución a la ecuación diferencial "revertir el tiempo":

$\frac{M_a}{r} = \frac{1}{r}\frac{dP(z)}{dz} + P(z).$

Ingenieros eléctricos y electrónicos y físicos estarán familiarizados con una ecuación de esta naturaleza: es un análogo exacto del tipo de ecuación diferencial que gobierna (por ejemplo) la carga de un condensador en un circuito RC.

$V_0 = RC\frac{dV(t)}{dt}+V(t).$

Las características claves de tales ecuaciones se explican en detalle en Circuitos RC. Para los propietarios con hipotecas es el parámetro importante a tener en cuenta la constante de tiempo de la ecuación que es simplemente el recíproco de la tasa de interés anualr. Así que la constante de tiempo cuando la tasa de interés es del 10% es de 10 años (por ejemplo) y el plazo de un préstamo hipotecario debe determinarse – dentro de los límites de accesibilidad – como mínimo múltiplo de esto si el objetivo es minimizar el interés pagado sobre el préstamo.

Diferencia de hipoteca y la ecuación diferencial

El convencional ecuación de la diferencia para un préstamo hipotecario es relativamente sencillo derivar - equilibrio debido en sucesivas cada período es el equilibrio anterior además por un periodo de interés menos la por un periodo de pago fijo.

Dado un anual tasa de interés r y un prestatario con un anual capacidad de pago M_N (dividido en pagos iguales N en Δ de intervalos de tiempot donde Δt= 1 /Naños), podemos escribir:

$\begin{align} P_{t+\Delta t} & = P_t+(rP_t-M_N)\Delta t\\[12pt] \dfrac{P_{t+\Delta t}-P_t}{\Delta t} & = rP_t-M_N \end{align}$

If N aumenta indefinidamente para que Δt→ 0, obtenemos la ecuación diferencial de tiempo continuo:

${\operatorname{d}P(t)\over\operatorname{d}t}=rP(t)-M_a$

Tenga en cuenta que para que tener un equilibrio continuamente decreciente de hipoteca, debe contener la siguiente desigualdad:

$P_0 \leqslant \frac{M_a}{r}$

P₀ es la misma que P(0) – el original cantidad de préstamo o saldo de préstamo en el tiempot= 0.

Resolver la ecuación de diferencia

Comenzamos por reescribir la ecuación diferencia en forma recursiva:

$P_{t+\Delta t}=P_t(1+r\Delta t)-M_N\Delta t\;$

Utilizando la notación P_n para indicar el saldo de la hipoteca después de n períodos, traigamos la relación recursividad iterativamente para determinar P₁ y P₂:

$P_1 = P_0(1+r\Delta t)-M_N\Delta t\;$

$\begin{align} P_2 &= [P_0(1+r\Delta t)-M_N\Delta t](1+r\Delta t)-M_N\Delta t\\ &= P_0(1+r\Delta t)^2 - M_N\Delta t(1+r\Delta t)-M_N\Delta t \end{align}$

Ya se puede ver que los términos que contienen M_N forman una serie geométrica con cociente común 1 +rΔt. Esto nos permite escribir una expresión general para P_n:

$\begin{align} P_n&=P_0(1+r\Delta t)^n-\sum_{k=1}^{n} M_N\Delta t(1+r\Delta t)^{n-k} \\ &=P_0(1+r\Delta t)^n-\dfrac{M_N\Delta t[(1+r\Delta t)^n - 1]}{r\Delta t} \end{align}$

Por último destacar rΔt=i la tasa de interés por período y $M_N\Delta t=x$ el per período pago, la expresión puede escribirse en forma convencional:

$P_n=P_0(1+i)^n-\dfrac{x[(1+i)^n - 1]}{i}$

Si el período de préstamo es m períodos, entonces P_m= 0 y obtenemos la fórmula de valor presente estándar:

$P_0=\dfrac{x[1-(1+i)^{-m}]}{i}$

Resolviendo la ecuación diferencial

${\operatorname{d}P(t)\over\operatorname{d}t}=rP(t)-M_a$

Es un método para resolver la ecuación para obtener el Transformada de Laplace P(s):

$P(s)=\frac{M_a}{s(r-s)}=\frac{M_a}{r} \times \frac{(-r)}{s(s-r)}.$

Usando un tabla de transformadas de Laplace y sus equivalentes de dominio de tiempo, P(t) puede determinarse:

$P(t)=\frac{M_a}{r}(1-e^{rt}).$

Para montar esta solución a la particular puntos inicial y final de la función de hipoteca que necesitamos introducir un cambio del tiempo de T () añosT = período de préstamo) para asegurar la función llega a cero al final del período de préstamo:

$\begin{align} & P(t) = \frac{M_a}{r}(1-e^{r(t-T)}) \\[8pt] & P_0 = \frac{M_a}{r}(1-e^{-rT})\Rightarrow\frac{M_a}{r}=\frac{P_0}{1-e^{-rT}} \\[8pt] \Rightarrow & P(t) = \frac{P_0(1-e^{-r(T-t)})}{1-e^{-rT}} \end{align}$

Tenga en cuenta que tanto la solución original y la versión "diferido" satisfacen la ecuación diferencial original donde ambos se derivan.

Similar a la expresión derivada por encima para P_n en la ecuación de la diferencia, la expresión para P(t) puede escribirse de la siguiente forma algebraicamente equivalente:

$P(t) = P_0e^{rt} - \frac{M_a}{r}(e^{rt}-1)$

Cálculo de intereses acumulados y los pagos de capital

Volver a arreglar la ecuación diferencial original obtenemos:

$M_a = rP(t) - \frac{dP(t)}{dt}$

Integración de ambos lados de la ecuación de rendimiento:

$M_a.t = \int_0^t rP(t)\,dt \, - \int_0^t \frac{dP(t)}{dt}\,dt \,$

La primera integral en el lado derecho determina los pagos de intereses acumulados desde inicios a tiempo t mientras que la segunda determina los principales pagos acumulados en el mismo período. La suma de estos intereses y los pagos de capital debe ser igual a los pagos fijos acumulados en el tiempo t es decir M_at. La primera integral a la derecha para que se obtiene una expresión evaluar I(t), el interés que paga:

$I(t)=M_at-\frac{M_a(e^{rt}-1)}{re^{rT}}$

No es sorprendente que se evalúa la segunda integral P₀−P(t) y por lo tanto:

$I(t)=M_at-P_0+P(t) \,$

El lector puede verificar fácilmente que esta expresión es algebraicamente idéntica a la anterior.

Factor de costo de préstamo

El costo de un préstamo es simplemente la tasa anual multiplicada por período de préstamo:

$C = M_aT= \frac{P_0 rT}{1-e^{-rT}}$

Dejar s=rT. Entonces podemos definir factor de coste del préstamo C(s) tal que C = P₀C(s) es decir: C(s) es el costo por unidad de moneda prestado.

$C(s) = \frac{rT}{1-e^{-rT}}=\frac{s}{1-e^{-s}}$

La función C(s) se caracteriza por tener un valor límite de 1 cuando s es cercano a cero desde para valores pequeños de s, exp (−s) ≈ 1 −s y simplifica el denominador as. También cuando s es muy grande, exp (−s) es pequeño para C(s) ≈s y por lo tanto costo de préstamos C≈P₀rT (rT>> 0).

Por ejemplo, considere un préstamo de 1000000 al 10% pagado más de 20 años. Entonces s= 0,1 × 20 = 2.

$C = 1000000 \times \frac{2}{1-e^{-2}} \approx 2.313\times10^6$

El producto rT es un parámetro fácilmente obtenido pero importante en la determinación de préstamo costo según la ecuación C = P₀xC(s). Esto se ilustra mejor mediante el trazado de la función del factor de costo para valores de s en el dominio [0; 5]. El comportamiento lineal de la función de los valores más altos de s está claro.

Factor equivalente interés simple costo

Para un préstamo a plazo fijo de años t, podemos comparar el factor de costo de préstamo anterior contra un factor de costo equivalente de interés simple 1 + s_e donde s_e=r_et y r_e es la tasa de interés simple equivalente:

$\frac{s}{1-e^{-s}}=1+s_e$

Es sencillo determinar s_e en términos de s. dividiendo por préstamo período t dará entonces la tasa de interés simple equivalente. Más difícil es la determinación inversa del dado s_e.

En su libro Resolución de problemas con cierto Basic, Dr. B.D. Hahn tiene una sección corta en determinados regímenes 'plazos' en el cual interés se calculan por adelantado en un solo pago, que se agrega a la cantidad de capital, la suma escindida igualmente durante el período de reembolso. El comprador, sin embargo, es a menudo la impresión de que el interés se calcula en un equilibrio reduciendo.

El ejemplo anterior se adapta a la dada en el libro del Dr. Hahn en la que emplea el algoritmo de Newton-Raphson para resolver el mismo problema aunque para un préstamo de reembolso (por ejemplo, mensual) intervalos discretos respecto al mismo periodo de tiempo (3 años). Como con muchos ejemplos similares intervalos discretos problema y su solución se aproxima estrechamente por los cálculos basados en el modelo de pago continuo - solución de Dr Hahn para la tasa de interés es 40.8% en comparación con el 41,6% calculado anteriormente.

Período de préstamo

Si un prestatario puede pagar una tasa anual de amortización M_a, entonces podemos volver a arreglar la fórmula para calcular M_a para obtener una expresión para el período de tiempo T de un determinado préstamo P₀:

$\begin{align} & M_a = \frac{P_0 r}{1-e^{-rT}} \\[8pt] \Rightarrow & T = \frac{1}{r}\ln\frac{M_a}{M_a-P_0 r} = -\frac{1}{r}\ln\left(1 - \frac{P_0 r}{M_a} \right) \end{align}$

Coeficiente del pago mínimo

La proporción del pago mínimo de un préstamo es la proporción de tasa de pago mínimo posible a la tasa de pago real. La tasa de pago mínimo posible es que sólo cubre el interés del préstamo – un prestatario en teoría pagaría esa cantidad para siempre porque nunca hay una disminución en el capital de préstamo. Utilizaremos la letra k para denotar la relación pago mínimo:

$k = \frac{M_\min}{M_a} = \frac{P_0r}{M_a}$

Ahora podemos considerar un pequeño arreglo re de la ecuación para el período de préstamoT:

$T = -\frac{1}{r}\ln\left(1-\frac{P_0r}{M_a}\right)$

$rT = s(k) = -\ln(1-k) \;$

Ploteo s(k) contra k da una demostración muy gráfica de por qué es una buena idea mantener el k valor muy por debajo de la asíntota en k= 1 desde en las proximidades s(k) aumenta bruscamente y por lo tanto tan préstamo costo que a su vez es una función creciente del parámetro s (rT producto).

"Half-Life" de un préstamo

Un parámetro útil del modelo hipotecario es el "Half-Life" del préstamo que es el tiempo que tarda el saldo del préstamo al llegar a mitad de su valor original. Para determinar el "Half-Life" nos podemos escribir:

$\frac{P(t)}{P_0}=\frac{1}{2}=\frac{1-e^{-r(T-t)}}{1-e^{-rT}}$

Solución para t obtenemos:

$t_{\frac{1}{2}}=\frac{1}{r}\ln\left(\frac{1+e^{rT}}{2}\right)$

Por ejemplo, aplicando la fórmula para algunos datos de prueba (préstamo de 1 millón al 10% durante 20 años) obtenemos el Half-Life como años 14,34. Si en la práctica que el préstamo está siendo pagado mediante cuotas mensuales, la parte decimal se puede convertir en meses y redondeada para que esta respuesta equivaldría a 172 meses.

Cálculo de la tasa de interés

En el modelo de intervalo de tiempo discreto, cálculo de una tasa de interés hipotecario base dada los parámetros restantes no ha sido posible usando métodos analíticos. Implementaciones como la función de "ritmo" Excel emplean un método numérico "juicio y mejora" para determinar la tasa de interés. A primera vista esto también parece ser el caso para el modelo de pago continuo. Dada:

$P_0=\frac{M_a}{r}(1-e^{-rT})$

nosotros podemos escribir:

$rP_0=M_a(1-e^{-rT})\,$

$\Rightarrow rP_0-M_a+M_ae^{-rT}=0$

Figura 1

Para visualizar lo anterior en función de r (para que se quiere determinar ceros), será útil seleccionar los valores numéricos de P₀, M_a y T como 10000, 6000 y 3 respectivamente y la trama como se muestra a la derecha. Se tendrá en cuenta que la función tiene un valor mínimo que puede ser determinado por la diferenciación:

$f'(r)=0\,$

$\Rightarrow P_0-M_aTe^{-rT}=0$

$\Rightarrow r=\frac{1}{T}\ln{\frac{M_aT}{P_0}}$

Puesto que la función es aproximadamente parabólica entre las raíces en r= 0 y el valor buscado, nos podemos estimar la raíz requiere que:

$r\approx\frac{2}{T}\ln{\frac{M_aT}{P_0}}$

Usando esto como punto de partida, los valores cada vez más precisos de la raíz pueden ser determinados por repetidas iteraciones de la Algoritmo de Newton-Raphson:

$r_{1} = r_0 - \frac{f(r_0)}{f'(r_0)}.\,\!$

Algunos experimentos en Wolfram Alpha revela que una solución analítica exacta empleando el Lambert-W o puede obtenerse la función "registro de producto". Ajuste s = M_aT/P₀ obtenemos:

$r=\frac{1}{T}\left (W(-se^{-s})+s\right )$

En la región de interés W(−se^−s) es una función con valores de bi. El primer valor es sólo −s que da la solución trivial r= 0. El segundo valor evaluado en el contexto de la fórmula anterior proporcionará la tasa de interés requerida.

La siguiente tabla muestra el cálculo de una estimación inicial de tasa de interés seguida por unas iteraciones del algoritmo de Newton-Raphson. Hay rápida convergencia a una solución precisa a varios lugares decimales como puede ser corroborada contra la solución analítica usando el Lambert W o la función "productlog" de Wolfram Alpha.

Préstamo (P)	Período (T)	Tasa de pago anual (Ma)	Estimación inicial: (2) lnEstera/P)/T
10000	3	6000	39.185778%

Newton – Raphson iteraciones

n	r(n)	f[r(n)]	f'[r(n)]
0	39.185778%	−229.57	4444.44
1	44.351111%	21,13	5241.95
2	43.948044%	0.12	5184.06
3	43.945798%	0	5183.74

Valor actual y valor futuro fórmulas

Correspondiente a la fórmula estándar para el valor presente de una serie de pagos mensuales fijos, ya hemos establecido un análogo de tiempo continuo:

$P_v(t)=\frac{M_a}{r}(1-e^{-rt}).$

De manera similar, se puede determinar una fórmula de valor futuro:

$F_v(t)=\frac{M_a}{r}(e^{rt}-1).$

En este caso, la tasa anual M_a se determina a partir de un destino específico de ahorro o fondo de amortización (futuro) P_T como se indica a continuación.

$M_a=\lim_{N\to\infty}N\cdot x(N)=\lim_{N\to\infty}\frac{P_T\cdot r}{(1 + \frac{r}{N})^{NT}-1}=\frac{P_T\cdot r}{e^{rT}-1}.$

Se tendrá en cuenta que como podría esperarse:

$F_v(t)=P_v(t) \times e^{rt}. \,$

Otra forma para calcular el saldo adeudado P(t) en un préstamo de reembolso continua es restar el valor futuro (en el tiempot) de la corriente del pago del valor futuro del préstamo (también en el tiempot):

$P(t)=P_0 e^{rt}-\frac{M_a}{r}(e^{rt}-1).$

Ejemplo

En el siguiente ejemplo de un libro de texto escolar ilustrará la diferencia conceptual entre una anualidad de ahorros basado en intervalos de tiempo discreto (por mes en este caso) y uno basado en pago continuo empleando el futuro anterior Fórmula de valor:

En su cumpleaños número 30, un inversionista decide que quiere acumular R500000 por su cumpleaños número 40. A partir del tiempo de un mes que se decide a hacer pagos mensuales iguales en una cuenta que paga intereses al 12% anual compuesto mensualmente. ¿Qué pagos mensuales tendrá que hacer?

En aras de la brevedad, vamos a resolver el problema de "intervalo de discreta" utilizando la función PMT de Excel:

$x(12) = PMT(1%, 120, 500000) = 2173.55$

El monto pagado anualmente por lo tanto sería 26082.57.

Para una anualidad de ahorro teórico pago continuo sólo podemos calcular anual tasa de pago:

$M_a=\frac{500000 \times 12%}{e^{0.12\cdot 10}-1}=25860.77$

En este momento hay una tentación de simplemente divida por 12 para obtener un pago mensual. Sin embargo esto contradiría la hipótesis principal que se basa el modelo de "pago continuo": es decir que el pago anual tasa se define como:

$M_a=\lim_{N\to\infty}N\cdot x(N) \,$

Ya que por supuesto es imposible para un inversionista a un infinitamente pequeño pago infinitas veces anuales, un banco u otra institución préstamo que deseen ofrecer rentas vitalicias "pago continuo" o hipotecas en la práctica tendría que elegir un valor grande pero finito de N (frecuencia anual de pagos) que el tiempo continuo fórmula siempre será correcto dentro de cierto margen de error mínimo preespecificados. Por ejemplo cada hora fijada pagos (calculados mediante la fórmula convencional) en este ejemplo se acumulan a un pago anual de 25861.07 y el error sería < 0,02%. Si el margen de error es aceptable, la tarifa de pago por hora puede determinarse más simplemente dividiendo M_a por 365 × 24. La entidad acreedora (hipotética) entonces necesitaría asegurar que sus recursos computacionales son suficientes para implementar (cuando se requiera) deducciones por hora de cuentas de clientes. En definitiva es efectivo "flujo" para las anualidades de pago continua debe ser entendida en el sentido literal de la palabra.

"El dinero pagado a un fondo en el mundo financiero se paga en discreta – generalmente igualmente espaciados – puntos en vez de calendario. En el proceso continuo el pago se realiza continuamente, como uno podría verter líquido de un recipiente a otro, donde la tasa de pago es la cantidad fundamental".

La tabla siguiente muestra cómo como N (frecuencia anual de composición) aumenta, la anual aproxima el valor límite de pago M_a, el pago anual tasa. La diferencia (error) entre pago anual y el valor límite se calcula y se expresa como un porcentaje del valor límite.

Período de capitalización	Frecuencia (N)	Por período la tasa de interés	Por periodo de pago x(N)	Pago anual	% Error
BI-annual	2	6.000000%	13,592.28	27,184.56	5.118918%
Trimestral	4	3.000000%	6,631.19	26,524.76	2.567558%
Mensual	12	1.000000%	2,173.55	26,082.57	0.857683%
Diario	365	0.032877%	70.87	25,868.07	0.028227%
Por hora	8760	0.001370%	2.95	25,861.07	0.001176%

Será evidente de lo anterior que el concepto de una hipoteca "continuo reembolso" es un concepto algo teórico. Si tiene valor práctico o no es una pregunta que tendría que ser considerado cuidadosamente por los economistas y actuarios. En particular el significado de un pago anual tasa debe entenderse claramente como se ilustra en el ejemplo anterior.

Sin embargo el modelo de "pago continuo" proporcionar algunas ideas significativas en el comportamiento de la función de balance discreto hipoteca – en particular que en gran medida es gobernado por un constante de tiempo igual a la recíproca de son la tasa de interés anual nominal. Y si una hipoteca debía pagarse vía fijas cantidades diarias, entonces el saldo adeudado cálculos efectuados utilizando el modelo – en general – sería precisos dentro de una pequeña fracción de un por ciento. Finalmente el modelo demuestra que es la modesta ventaja del titular hipoteca para aumentar la frecuencia de pago donde prácticamente posible.

Resumen de fórmulas y calculadores en línea

Tasa de pago anual (hipoteca):$M_a=\lim_{N\to\infty}N\cdot x(N)=\frac{P_0\cdot r}{1 - e^{-rT}}$

Tasa anual de pago (fondo concursable):$M_a=\lim_{N\to\infty}N\cdot x(N)=\frac{P_T\cdot r}{e^{rT}-1}$

Valor futuro:$F_v(t) = \frac{M_a}{r}(e^{rt}-1)$

Valor actual:$P_v(t) = \frac{M_a}{r}(1 - e^{-rt})$

Saldo del préstamo:$P(t) = \frac{M_a}{r}(1 - e^{-r(T-t)})$

Período de préstamo:$T=-\frac{1}{r}\ln\left(1-\frac{P_0 r}{M_a}\right)$

Half-Life de préstamo:$t_{\frac{1}{2}}=\frac{1}{r}\ln\left(\frac{1+e^{rT}}{2}\right)$

Tasa de interes:$r\approx\frac{2}{T}\ln{\frac{M_aT}{P_0}}$$r=\frac{1}{T}\left (W(-se^{-s})+s\right )\text{ with }s=\frac{M_at}{P_0}$

Calculadora de hipoteca universal. Esto teniendo en cuenta tres de las cuatro variables, calcula el valor (el desconocido) cuarto.

Gráfico de hipoteca. Esto ilustra la curva característica del tiempo hipoteca equilibrio vs durante un periodo determinado préstamo. Monto del préstamo y la tasa de interés () préstamop/a) también puede especificarse. Un préstamo de intervalos discretos tendrá una característica muy similar.

Referencias

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• Glencross, M.J. (2007). Matemáticas: Grado 12 OBE. Una enseñanza eficaz editores, ciudad del cabo, RSA. ISBN978-1-920116-36-1.
• Munem, M.A.; Foulis D.J. (1986). Álgebra y trigonometría con aplicaciones.. Vale la pena Publishers, Estados Unidos. ISBN0-87901-281-1.
• Hahn, Brian D. (1989). Resolución de problemas con True Basic.. Juta & Company Limited, ciudad del cabo, Sudáfrica. ISBN0-7021-2282-3.

Bibliografía

• Kreyszig, Erwin, Avanzada ingeniería matemática (1998, wiley Publishers, Estados Unidos), ISBN 0-471-15496-2.

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