Orden normal

Para otras aplicaciones, vea Orden normal (desambiguación).

En teoría cuántica de campos un producto de campos cuánticos, o equivalente su operadores de creación y aniquilación, generalmente se dice que es normal ordenada (también llamado Orden de mecha) cuando todos los operadores de creación están a la izquierda de todos los operadores de aniquilación en el producto. El proceso de poner un producto en el orden normal se llama orden normal (también llamado Mecha pedidos). Los términos orden antinormal y ordenar antinormal Análogamente se definen, donde los operadores aniquilación se colocan a la izquierda de los operadores de creación.

Orden normal de un campos cuánticos del producto o operadores de creación y aniquilación también se puede definir en muchas otras formas. Qué definición es más apropiado depende de los expectativa los valores necesarios para un cálculo dado. La mayor parte de este artículo utiliza la definición más común de normal ordenar, que dado anteriormente, que es apropiado cuando se toman valores de la expectativa utilizando el estado vacío de la operadores de creación y aniquilación.

El proceso de ordenamiento normal es particularmente importante para un mecánica cuántica Hamiltoniano. Al cuantificar un clásico Hamiltoniano allí es cierta libertad al elegir el orden de operador, y estas decisiones conducen a diferencias en la estado fundamental energía.

Notación

If $\hat{O}$ denota un operador arbitrario, entonces la forma normal de ordenado $\hat{O}$ se denota por $\mathcal{N}(\hat{O})$.

Una notación alternativa consiste en colocar el operador dentro de dos colones denotado por $\mathopen{:} \hat{O} \mathclose{:}$

Bosones

Bosones son las partículas que satisfacer Estadística de Bose-Einstein. Ahora examinaremos el orden normal de productos bosónica de operador de creación y aniquilación.

Solos bosones

Si empezamos con un único tipo de bosón hay dos operadores de interés:

• $\hat{b}^\dagger$:: operador del boson creación.
• $\hat{b}$:: operador de aniquilación de los bosones.

Estos satisfacen la conmutador relación

$\left[\hat{b}^\dagger, \hat{b}^\dagger \right]_- = 0$

$\left[\hat{b}, \hat{b} \right]_- = 0$

$\left[\hat{b}, \hat{b}^\dagger \right]_- = 1$

donde $\left[ A, B \right]_- \equiv AB - BA$ denota el conmutador. Nosotros podemos reescribir el último como: $\hat{b}\, \hat{b}^\dagger = \hat{b}^\dagger\, \hat{b} + 1.$

Ejemplos

1. primero le consideramos el caso más simple. Este es el orden normal de $\hat{b}^\dagger \hat{b}$:

$: \hat{b}^\dagger \, \hat{b} : \,= \hat{b}^\dagger \, \hat{b}.$

La expresión $\hat{b}^\dagger \, \hat{b}$ No ha sido cambiada porque es Ya en el orden normal - el operador de creación $(\hat{b}^\dagger)$ Ya está a la izquierda del operador de aniquilación $(\hat{b})$.

2. un ejemplo más interesante es el orden normal de $\hat{b} \, \hat{b}^\dagger$:

$: \hat{b} \, \hat{b}^\dagger : \,= \hat{b}^\dagger \, \hat{b}.$

Aquí tiene el normal funcionamiento de pedidos reordenar los términos colocando $\hat{b}^\dagger$ a la izquierda de $\hat{b}$.

Estos dos resultados se pueden combinar con la relación de conmutación obedecida por $\hat{b}$ y $\hat{b}^\dagger$ para obtener

$\hat{b} \, \hat{b}^\dagger = \hat{b}^\dagger \, \hat{b} + 1 =\, : \hat{b} \, \hat{b}^\dagger : + 1.$

or

$\hat{b} \, \hat{b}^\dagger - : \hat{b} \, \hat{b}^\dagger : \,= 1.$

Esta ecuación se utiliza en la definición de las contracciones en Teorema de Wick.

3. un ejemplo con múltiples operadores es:

$: \hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b}:\, = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b} = (\hat{b}^\dagger)^3 \, \hat{b}^4.$

4. un ejemplo más complicado muestra cómo podemos funciones de orden normal de los operadores por expandirlos hacia fuera en un serie y ordenar cada término normal:

$: \exp (\lambda \hat{a}^\dagger \hat{a}) : \,= \sum^\infty_{n=0} \frac{\lambda^n}{n!} \hat{a}^{\dagger n} \hat{a}^n$

5. un ejemplo sencillo muestra que ordenar normal no es lineal:

$: \hat{b} \hat{b}^\dagger : \;=\; : 1 + \hat{b}^\dagger \hat{b} : \;=\; : 1 : + : \hat{b}^\dagger \hat{b} : \;=\; 1 + \hat{b}^\dagger \hat{b} \ne \hat{b}^\dagger \hat{b}.$

La implicación es ordenar normal que función de operadores no está bien definida. El ejemplo anterior sólo sirve como una definición de la LHS como una expresión simbólica.

Bosones múltiples

Si ahora consideramos $N$ bosones diferentes hay $2 N$ operadores:

• $\hat{b}_i^\dagger$:: el $i^{th}$ operador de creación del bosón.
• $\hat{b}_i$:: el $i^{th}$ operador de aniquilación del bosón.

Aquí $i = 1,\ldots,N$.

Éstos satisfacen a las relaciones de la conmutación:

$\left[\hat{b}_i^\dagger, \hat{b}_j^\dagger \right]_- = 0$

$\left[\hat{b}_i, \hat{b}_j \right]_- = 0$

$\left[\hat{b}_i, \hat{b}_j^\dagger \right]_- = \delta_{ij}$

donde $i,j = 1,\ldots,N$ y $\delta_{ij}$ denota el Delta de Kronecker.

Estos pueden ser reescritos como:

$\hat{b}_i^\dagger \, \hat{b}_j^\dagger = \hat{b}_j^\dagger \, \hat{b}_i^\dagger$

$\hat{b}_i \, \hat{b}_j = \hat{b}_j \, \hat{b}_i$

$\hat{b}_i \,\hat{b}_j^\dagger = \hat{b}_j^\dagger \,\hat{b}_i + \delta_{ij}.$

Ejemplos

1. para dos diferentes bosones ($N=2$) tenemos

$: \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2$

$: \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2$

2. para tres diferentes bosones ($N=3$) tenemos

$: \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \,\hat{b}_3 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \,\hat{b}_3$

Observe que desde (por las relaciones de la conmutación) $\hat{b}_2 \,\hat{b}_3 = \hat{b}_3 \,\hat{b}_2$ No importa el orden en el que escribimos los operadores de aniquilación.

$: \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger \, \hat{b}_3 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \, \hat{b}_3$

$: \hat{b}_3 \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \, \hat{b}_3$

Fermiones

Fermiones son las partículas que satisfacer Estadística de Fermi-Dirac. Ahora examinaremos el orden normal de productos fermiónicos de operador de creación y aniquilación.

Solos fermiones

Para un Fermión solo hay dos operadores de interés:

• $\hat{f}^\dagger$:: operador del Fermión creación.
• $\hat{f}$:: operador del Fermión aniquilación.

Estos satisfacen la anticommutator relaciones

$\left[\hat{f}^\dagger, \hat{f}^\dagger \right]_+ = 0$

$\left[\hat{f}, \hat{f} \right]_+ = 0$

$\left[\hat{f}, \hat{f}^\dagger \right]_+ = 1$

donde $\left[A, B \right]_+ \equiv AB + BA$ denota el anticommutator. Estos pueden ser reescritos como

$\hat{f}^\dagger\, \hat{f}^\dagger = 0$

$\hat{f} \,\hat{f} = 0$

$\hat{f} \,\hat{f}^\dagger = 1 - \hat{f}^\dagger \,\hat{f} .$

Para definir el orden normal de un producto de los operadores de creación y aniquilación fermiónicos debemos tomar en cuenta el número de intercambios entre los operadores vecinos. Obtenemos un signo para cada tal intercambio.

Ejemplos

1. otra vez empezamos con los casos más simples:

$: \hat{f}^\dagger \, \hat{f} : \,= \hat{f}^\dagger \, \hat{f}$

Esta expresión ya está en el orden normal así que no ha cambiado nada. En el caso inverso, les presentamos un signo menos porque tenemos que cambiar el orden de los dos operadores:

$: \hat{f} \, \hat{f}^\dagger : \,= -\hat{f}^\dagger \, \hat{f}$

Estos pueden combinarse, junto con las relaciones anticommutation, para mostrar

$\hat{f} \, \hat{f}^\dagger \,= 1 - \hat{f}^\dagger \, \hat{f} = 1 + :\hat{f} \,\hat{f}^\dagger :$

or

$\hat{f} \, \hat{f}^\dagger - : \hat{f} \, \hat{f}^\dagger : = 1.$

Esta ecuación, que se encuentra en la misma forma que el caso bosónica anterior, se utiliza en la definición de las contracciones en Teorema de Wick.

2. el orden normal de los casos más complicados da cero porque habrá al menos un operador creación o aniquilación que aparece dos veces. Por ejemplo:

$: \hat{f}\,\hat{f}^\dagger \, \hat{f} \hat{f}^\dagger : \,= \hat{f}^\dagger \,\hat{f}^\dagger \,\hat{f}\,\hat{f} = 0$

Múltiples fermiones

Para $N$ diferentes fermiones hay $2 N$ operadores:

• $\hat{f}_i^\dagger$:: el $i^{th}$ operador de creación del Fermio.
• $\hat{f}_i$:: el $i^{th}$ operador de aniquilación del Fermio.

Aquí $i = 1,\ldots,N$.

Éstos satisfacen a las relaciones de la conmutación:

$\left[\hat{f}_i^\dagger, \hat{f}_j^\dagger \right]_+ = 0$

$\left[\hat{f}_i, \hat{f}_j \right]_+ = 0$

$\left[\hat{f}_i, \hat{f}_j^\dagger \right]_+ = \delta_{ij}$

donde $i,j = 1,\ldots,N$ y $\delta_{ij}$ denota el Delta de Kronecker.

Estos pueden ser reescritos como:

$\hat{f}_i^\dagger \, \hat{f}_j^\dagger = -\hat{f}_j^\dagger \, \hat{f}_i^\dagger$

$\hat{f}_i \, \hat{f}_j = -\hat{f}_j \, \hat{f}_i$

$\hat{f}_i \,\hat{f}_j^\dagger = \delta_{ij} - \hat{f}_j^\dagger \,\hat{f}_i .$

Al calcular el orden normal de los productos de los operadores Fermión debemos tener en cuenta el número de intercambios de vecinos operadores necesarios para reorganizar la expresión. Es como si pretendemos la creación y anticommute de los operadores de aniquilación y luego reordenar la expresión para asegurar los creación los operadores están a la izquierda y los aniquilación los operadores están a la derecha, todo el tiempo teniendo en cuenta las relaciones anticommutation.

Ejemplos

1. para dos fermiones diferentes ($N=2$) tenemos

$: \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2$

Aquí la expresión ya es normal para no cambia nada.

$: \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger : \,= -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2$

Aquí presentamos un signo menos porque nos hemos intercambiado el orden de los dos operadores.

$: \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}^\dagger_2 : \,= \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_2^\dagger \,\hat{f}_2 = -\hat{f}_2^\dagger \, \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2$

Tenga en cuenta que el orden en el que escribimos los operadores aquí, al contrario que en el caso bosónica, importa.

2. para tres diferentes fermiones ($N=3$) tenemos

$: \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_2 \, \hat{f}_3 : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \,\hat{f}_3 = -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \,\hat{f}_2$

Observe que desde (por las relaciones anticommutation) $\hat{f}_2 \,\hat{f}_3 = -\hat{f}_3 \,\hat{f}_2$ el orden en el que escribimos los operadores importa en este caso.

Asimismo hemos

$: \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_3 : \,= -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \, \hat{f}_3 = \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \, \hat{f}_2$

$: \hat{f}_3 \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \, \hat{f}_2 = -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \, \hat{f}_3$

Usos en teoría cuántica de campos

El valor de la expectativa al vacío de un producto normal y ordenado de los operadores de creación y aniquilación es cero. Esto es debido a que denota la estado de vacío por $|0\rangle$, satisfacen a los operadores de creación y aniquilación

$\langle 0 | \hat{a}^\dagger = 0 \qquad \textrm{and} \qquad \hat{a} |0\rangle = 0$

(aquí $\hat{a}^\dagger$ y $\hat{a}$ son los operadores de creación y aniquilación (bosónica o fermiónico)).

Cualquier normal ordenó operador por lo tanto tiene un valor vacío expectativa de cero. Aunque un operador $\hat{O}$ puede satisfacer

$\langle 0 | \hat{O} | 0 \rangle \neq 0$

Siempre tenemos

$\langle 0 | :\hat{O}: | 0 \rangle = 0$

Esto es particularmente útil al definir una mecánica cuántica Hamiltoniano. Si el hamiltoniano de una teoría está en el orden normal y luego la energía del estado fundamental será cero: $\langle 0 |\hat{H}|0\rangle = 0$.

Campos libres

Con dos campos libres φ y χ,

$:\phi(x)\chi(y):=\phi(x)\chi(y)-\langle 0|\phi(x)\chi(y)| 0\rangle$

donde $|0\rangle$ es otra vez el estado vacío. Cada uno de los dos términos en el lado derecho típicamente estalla en el límite como enfoques y x pero la diferencia entre ellos tiene un límite bien definido. Esto nos permite definir: φ(x)χ(x):.

Teorema de Wick

Artículo principal: Teorema de Wick

Teorema de Wick indica la existencia de una relación entre el tiempo ordenado producto de $n$ campos y una suma de productos ordenados normales. Esto puede ser expresado por $n$ incluso mientras

$\begin{align} T\left[\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)\right]=&:\phi(x_1)\cdots \phi(x_n): +\sum_\textrm{perm}\langle 0 |T\left[\phi(x_1)\phi(x_2)\right]|0\rangle :\phi(x_3)\cdots \phi(x_n):\\ &+\sum_\textrm{perm}\langle 0 |T\left[\phi(x_1)\phi(x_2)\right]|0\rangle \langle 0 |T\left[\phi(x_3)\phi(x_4)\right]|0\rangle:\phi(x_5)\cdots \phi(x_n):\\ \vdots \\ &+\sum_\textrm{perm}\langle 0 |T\left[\phi(x_1)\phi(x_2)\right]|0\rangle\cdots \langle 0 |T\left[\phi(x_{n-1})\phi(x_n)\right]|0\rangle \end{align}$

donde la suma es sobre todas las distintas formas en que uno puede vincular campos. El resultado de $n$ Parece extraño el mismo excepto la última línea que Lee

$\sum_\text{perm}\langle 0 |T\left[\phi(x_1)\phi(x_2)\right]|0\rangle\cdots\langle 0 | T\left[\phi(x_{n-2})\phi(x_{n-1})\right]|0\rangle\phi(x_n).$

Este teorema proporciona un método simple para computación vacío expectativa los valores de tiempo orden a los productos de los operadores y fue la motivación detrás de la introducción de pedidos normales.

Definiciones alternativas

La definición más general de ordenamiento normal consiste en dividir todos los campos cuánticos en dos partes (por ejemplo ver Evans y dirigir 1996) $\phi_i(x)=\phi^+_i(x)+\phi^-_i(x)$. En un producto de los campos, los campos se dividen en las dos partes y la $\phi^+(x)$ las piezas se mueven con el fin de estar siempre a la izquierda de todos los $\phi^-(x)$ piezas. En el caso habitual en el resto del artículo, el $\phi^+(x)$ contiene sólo los operadores de creación, mientras que el $\phi^-(x)$ contiene sólo los operadores de aniquilación. Como se trata una identidad matemática, uno puede dividir campos de ninguna manera le gusta a nadie. Sin embargo para que esto sea un procedimiento útil uno exige que el normal orden producto de cualquier combinación de campos tiene valor cero expectativa

$\langle :\phi_1(x_1)\phi_2(x_2)\ldots\phi_n(x_n):\rangle=0$

También es importante para los cálculos prácticos que todos los Comutadores contra campos fermiónicos de todos $\phi^+_i$ y $\phi^-_j$ son todos c-números. Estas dos propiedades significa que podemos aplicar Teorema de Wick de la manera habitual, convirtiendo los valores de la expectativa de productos ordenó de campos en productos de c-número de pares, las contracciones. En este contexto generalizado, la contracción se define como la diferencia entre el producto ordenado por la hora y el producto ordenado normal de un par de campos.

El ejemplo más simple se encuentra en el contexto de Teoría cuántica termal (Evans y Steer, 1996). En este caso los valores de la expectativa de interés son conjuntos estadísticos, rastros sobre ponderados por todos los Estados $\exp (-\beta \hat{H})$. Por ejemplo, para un oscilador armónico cuántico bosónica solo tenemos que el valor de la expectativa termal del operador número es simplemente la Distribución de Bose-Einstein

$\langle\hat{b}^\dagger \hat{b}\rangle = \frac{\mathrm{Tr} (e^{-\beta \omega \hat{b}^\dagger \hat{b}} \hat{b}^\dagger \hat{b} )}{\mathrm{Tr} (e^{-\beta \omega \hat{b}^\dagger \hat{b} })} = \frac{1}{e^{\beta \omega}-1}$

Así que aquí el operador número $\hat{b}^\dagger \hat{b}$ es normal que ordenó en el sentido habitual utilizado en el resto del artículo sin embargo sus valores térmicos expectativa son cero. Aplicando el teorema de Wick y haciendo el cálculo con el ordenamiento normal habitual en este contexto térmica son posible pero computacionalmente impracticable. La solución es definir un ordenamiento diferente, tal que el $\phi^+_i$ y $\phi^-_j$ son combinaciones lineales de los operadores de aniquilación y creaciones originales. Las combinaciones son elegidas para asegurar que los valores térmicos expectativa de productos ordenados normales son siempre cero así el reparto elegido dependerá de la temperatura.

Referencias

• F. Mandl, G. Shaw, teoría cuántica de campos, John Wiley & Sons, 1984.
• S. Weinberg, la teoría cuántica de campos (volumen I) Cambridge University Press (1995)
• T.S. Evans, D.A. buey, Teorema de Wick a temperatura finitaNucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv: hep-ph/9601268

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