Regla de 72

En Finanzas, la regla de 72, la regla de 70 y el regla de 69.3 son métodos para estimar un inversiónes tiempo de duplicación. El regla número (por ejemplo, 72) se divide por el porcentaje de interés por período para obtener el número aproximado de períodos (generalmente años) necesaria para doblar. Aunque Calculadoras científicas y hoja de cálculo los programas tienen funciones para encontrar el tiempo de duplicación exacto, las reglas son útiles para cálculo mental y cuando sólo un básico Calculadora se encuentra disponible.

Estas reglas aplican a crecimiento exponencial y por lo tanto se utilizan para interés compuesto a diferencia de interés simple cálculos. También pueden utilizarse para decaimiento para obtener un tiempo reducir. La elección del número es sobre todo una cuestión de preferencia, 69 es más exacta para capitalización continua, mientras que 72 funciona bien en situaciones de interés común y es más fácilmente divisible. Hay un número de variaciones a las normas que mejoran la exactitud. Para capitalización periódica, el Exacto tiempo para un tipo de interés de duplicación r por un periodo de es

$T = \frac{\ln(2)}{\ln(1+r)}$,

donde T es el número de períodos requeridos. La fórmula anterior puede utilizarse para más de calcular el tiempo de duplicación. Si quieres saber el tiempo tripling, por ejemplo, simplemente reemplazar la constante 2 en el numerador con 3. Como otro ejemplo, si quieres saber el número de períodos que se necesita para que el valor inicial aumentará en un 50%, reemplace la constante 2 con 1.5.

Usando la regla para calcular períodos de composición

Para estimar el número de períodos necesarios para duplicar la inversión original, divida la más conveniente "regla-cantidad" por la tasa de crecimiento esperada, expresada como un porcentaje.

• Por ejemplo, si fueras a invertir $100 con interés compuesto a una tasa del 9% anual, la regla de 72 da 72/9 = 8 años requeridos para que la inversión valdrá $200; un cálculo exacto da ln(2)/ln(1+.09) = 8,0432 años.

Del mismo modo, para determinar el tiempo que tarda el valor del dinero a la mitad a un ritmo determinado, divida la cantidad de regla por esa tasa.

• Para determinar el momento para dineroes poder de compra para reducir a la mitad los financistas simplemente dividen la regla-cantidad por la tasa de inflación. Así en el 3,5% inflación usando el regla de 70, debe tomar aproximadamente 70/3.5 = 20 años por el valor de una unidad de moneda para reducir a la mitad.

• Para estimar el impacto de cuotas adicionales en las políticas financieras (por ejemplo, los gastos y cuotas de fondos mutuos, cargos de carga y los gastos en seguro de vida universal variable carteras de inversión), divida 72 por la cuota. Por ejemplo, si la póliza de vida Universal cobra un 3% por encima de los gastos del fondo de inversión subyacente, entonces el valor total de la cuenta se cortará a 1/2 en 72 / 3 = 24 años y luego a sólo 1/4 el valor de 48 años, en comparación con mantiene exactamente la misma inversión fuera de la política.

Elección de la regla

El valor de 72 es una opción conveniente del numerador, ya que tiene muchos pequeños divisores:: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 y 12. Proporciona una buena aproximación para capitalización anual y agravando a tasas típicas (del 6% al 10%). Las aproximaciones son menos precisas en tasas de interés.

Para capitalización continua, 69 da resultados exactos para cualquier tasa. Esto es porque ln(2) es de 69,3%; ver más abajo de la derivación. Puesto que diariamente es lo suficientemente cerca para capitalización continua, para propósitos más 69, 69.3 o 70 son mejores que 72 para capitalización diaria. Para tasas anuales más bajas que los anteriores, también sería más preciso que 72 69.3.

Tasa	Años reales	Regla de 72	Regla de 70	Regla de 69.3	72 ajustado	Regla E-M
0.25%	277.605	288.000	280.000	277.200	277.667	277.547
0.5%	138.976	144.000	140.000	138.600	139.000	138.947
1%	69.661	72.000	70.000	69.300	69.667	69.648
2%	35.003	36.000	35.000	34.650	35.000	35.000
3%	23.450	24.000	23.333	23.100	23.444	23.452
4%	17.673	18.000	17.500	17.325	17.667	17.679
5%	14.207	14.400	14.000	13.860	14.200	14.215
6%	11.896	12.000	11.667	11.550	11.889	11.907
7%	10.245	10.286	10.000	9.900	10.238	10.259
8%	9006	9.000	8.750	8.663	9.000	9.023
9%	8.043	8.000	7.778	7.700	8.037	8.062
10%	7.273	7.200	7.000	6.930	7.267	7.295
11%	6.642	6.545	6.364	6.300	6.636	6.667
12%	6.116	6.000	5.833	5.775	6.111	6.144
15%	4959	4.800	4.667	4620	4.956	4.995
38g	4188	4.000	3.889	3850	4.185	4.231
20%	3.802	3.600	3.500	3.465	3.800	3850
25%	3.106	2.880	2.800	2.772	3.107	3.168
30%	2.642	2.400	2.333	2.310	2.644	2.718
40%	2.060	1.800	1.750	1.733	2.067	2.166
50%	1.710	1.440	1.400	1.386	1.720	1.848
60%	1,475	1.200	1.167	1.155	1.489	1.650
70%	1.306	1.029	1.000	0.990	1.324	1.523

Historia

Una primera referencia a la regla está en el Summa de arithmetica (Venecia, 1494. Fol. 181, n. 44) de Luca Pacioli (1445-1514). La regla se presenta en una discusión con respecto a la estimación del tiempo de duplicación de una inversión, pero no derivan ni explicar la regla, y por lo tanto se supone que la regla anterior a Pacioli por algún tiempo.

“ Un voler sapere ogni quantita un tanto para el año 100, en quanti anni sarà tornata doppia tra utile e capitale, tieni por regola 72, una mente, quale il sempre partirai per l'interesse, e quello ne viene, en tanti anni sarà raddoppiato. Ejemplo: L'interesse Quando è un 6 para el año 100, dico si parta 72 por 6; ne vien 12, e en 12 anni sarà raddoppiato il capitale. (énfasis agregado). ”

Traducido:

“ Para saber de cualquier capital, a un determinado porcentaje anual, en cuántos años doblará añadiendo el interés a la capital, como una regla [el número] 72 en mente, que siempre dividirá por el interés, y lo que resulta, en que muchos años se duplicará. Ejemplo: Cuando el interés es de 6 por ciento al año, yo digo que uno divide 72 por 6; 12 resultados, y en 12 años se duplicará la capital. ”

Ajustes para una mayor precisión

Para tasas más altas, más grande numerador sería mejor (por ejemplo, para un 20%, utilizando 76 3,8 años sería sólo de 0.002 apagado, donde usando 72 a 3.6 sería sobre 0.2). Esto es porque, como anteriormente, la regla de 72 es sólo una aproximación que es precisa para las tasas de interés del 6% al 10%. Exterior que abarcan el error variará de 2,4% a −14.0%. Por cada tres puntos de 8% el valor 72 podría ajustarse por 1.

$t \approx \frac{72 + (r - 8)/3}{r}$

o por el mismo resultado, pero más simple:

$t \approx \frac{70 + (r - 2)/3}{r}$

$t \approx \frac{69.3}{r} + 0.33$

Regla E-M

La regla de segundo orden Eckart-McHale, la regla E-M, proporciona una corrección multiplicativa para la regla de 69.3 que es muy precisa para las tasas de 0% a 20%. La regla de 69.3 normalmente sólo es exacta en el extremo inferior de las tasas de interés, desde 0% a 5%. Para calcular la aproximación E-M, simplemente multiplique la regla del resultado 69,3 por 200 /(200-r) de la siguiente manera:

$t \approx \frac{69.3}{r} \times \frac{200}{200-r}$

Por ejemplo, si la tasa de interés es del 18%, dice la regla de 69.3 t = años 3,85. La regla E-M multiplica esto por 200/(200-18), dar un tiempo de duplicación de 4,23 años, donde el tiempo de duplicación real a este ritmo es años 4,19. (La regla E-M así da una mejor aproximación que la regla del 72).

Tenga en cuenta que si el numerador aquí es simplemente 69,3 veces 200. Mientras el producto se mantiene constante, los factores pueden ser modificados arbitrariamente. La regla E-M así puede escribirse también como

$t \approx \frac{70}{r} \times \frac{198}{200-r}$ o $t \approx \frac{72}{r} \times \frac{192}{200-r}$

con el fin de mantener el producto en su mayoría sin cambios. En estas variantes, la corrección multiplicativa se convierte 1 respectivamente para r = 2 y r = 8, los valores para el cual la regla del 70 (72 respectivamente) es más precisa.

Del mismo modo, el 3er-orden Aproximante Padé da una respuesta más precisa sobre una gama aún mayor de r, pero tiene una fórmula un poco más complicada:

$t \approx \frac{69.3}{r} \times \frac{600+4r}{600+r}$

Otras reglas

Extender la regla de 72 fuera más lejos, otras aproximaciones puede determinarse para triplicar y cuadruplicar. Para estimar el tiempo que tomaría para triplicar su dinero, uno puede utilizar 114 en lugar de 72 y, por cuadruplicado, utilizar 144.

Derivación

Capitalización periódica

Para capitalización periódica, valor futuro viene dada por:

$FV = PV \cdot (1+r)^t$

donde $PV$ es el valor actual, $t$ es el número de períodos de tiempo, y $r$ representa la tasa de interés por período de tiempo.

El valor futuro es el doble del valor presente cuando se cumple la condición siguiente:

$(1+r)^t = 2\,$

Esta ecuación se resuelve fácilmente para $t$:

$\begin{array}{ccc} \ln((1+r)^t) & = & \ln 2 \\ t \cdot \ln(1+r) & = & \ln 2 \\ t & = & \frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \end{array}$

If r es pequeño, entonces ln(1 + r) aproximadamente igual a r (este es el primer término en la Series de Taylor). Junto con la aproximación $ln(2) \approx 0.693147$, esto da:

$t \approx \frac{0.693147}{r}$

que mejora en la precisión como el compuestos de interés llega a ser continuo (véase la derivación más abajo).

Sin embargo, los seres humanos tienden a preferir realizar cálculos mentales con porcentajes, entonces la fórmula a menudo se reafirmó como sigue:

$\begin{array}{ccc} t & \approx & \frac{0.693147}{r} \\ & & \\ & = & \frac{0.693147}{R\%} \\ & & \\ & = & \frac{0.693147}{R \frac{1}{100}} \\ & & \\ & = & \frac{0.693147 \cdot 100}{R} \\ & & \\ & = & \frac{69.3147}{R} \\ & & \\ & \approx & \frac{70}{R} \end{array}$

Para derivar los ajustes más precisos que se presenta arriba, se observa que $\ln(1+r)\,$ se aproxima más de cerca por $r - \frac{r^2}{2}$ (usando el segundo término en la Series de Taylor). $\frac{0.693}{r - r^2/2}$ puede entonces ser más simplificado por aproximaciones de Taylor:

$\begin{array}{ccc} \frac{0.693}{r - r^2/2} & = & \frac{69.3}{R - R^2/200} \\ & & \\ & = & \frac{69.3}{R} \frac{1}{1-R/200} \\ & & \\ & \approx & \frac{69.3 (1+R/200)}{R} \\ & & \\ & = & \frac{69.3}{R}+\frac{69.3}{200} \\ & & \\ & = & \frac{69.3}{R}+0.34\end{array}$

Reemplazando la "R" en R/200 en la tercera línea con 7,79 da 72 en el numerador. Esto demuestra que la regla del 72 es más precisa para intereses periódicamente compuestos alrededor del 8%.

Alternativamente, la norma E-M se obtiene si se utiliza la aproximación de Taylor de segundo orden directamente.

Capitalización continua

Para capitalización continua, la derivación es más simple y rinde una regla más precisa:

$\begin{array}{ccc} (e^r)^p & = & 2 \\ e^{rp} & = & 2 \\ \ln e^{rp} & = & \ln 2 \\ rp & = & \ln 2 \\ p & = & \frac{\ln 2}{r} \\ & & \\ p & \approx & \frac{0.693147}{r} \end{array}$

Véase también

• Crecimiento exponencial
• Valor temporal del dinero
• Interés
• Descuento
• Regla de 16

Enlaces externos

• Las escalas de 70 – se extiende la regla de 72 más allá del crecimiento de la tasa de interés fija de crecimiento compuesto de tasa variable incluyendo tasas positivas y negativas.
• Una nota sobre la regla de 72 o cuánto tiempo tarda para duplicar tu dinero, La sociedad de analistas de inversión de Sudáfrica
• Regla de 72 calculadora, moneychimp.com
• Regla de 72 herramienta de aprendizaje, directinvesting.com
• Matemáticas financieras, ExcelExchange

Otras Páginas

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