Medida de riesgo coherente

En el campo de economía financiera Hay un número de maneras que el riesgo puede definirse; aclarar el concepto teóricos han descrito una serie de propiedades que un medida del riesgo podría o no podría tener. A medida de riesgo coherente es una función $\varrho$ satisface las propiedades de moniticidad, Sub-aditividad, homogeneidad, y invariancia translacional.

Propiedades

Considerar un resultado aleatorio $X$ visto como un elemento de un espacio lineal $\mathcal{L}$ de funciones medibles, definidos en un espacio probabilístico apropiado. A funcional $\varrho : \mathcal{L}$ → $\R \cup \{+\infty\}$ se dice que es medida de riesgo coherente para $\mathcal{L}$ si satisface las siguientes propiedades:

Normalizado

$\varrho(0) = 0$

Es decir, el riesgo de no mantener activos es cero.

Moniticidad

$\mathrm{If}\; Z_1,Z_2 \in \mathcal{L} \;\mathrm{and}\; Z_1 \leq Z_2 \; \mathrm{a.s.} ,\; \mathrm{then} \; \varrho(Z_1) \geq \varrho(Z_2)$

Es decir, si portfolio $Z_2$ siempre tiene mejores valores de cartera $Z_1$ bajo casi todos escenarios entonces el riesgo de $Z_2$ debe ser menor que el riesgo de $Z_1$. Por ejemplo si $Z_1$ es un dinero llamar opción (o no) en una acción, y $Z_2$ es también un dinero llamar opción con un precio más bajo de la huelga.

Sub-aditividad

$\mathrm{If}\; Z_1,Z_2 \in \mathcal{L} ,\; \mathrm{then}\; \varrho(Z_1 + Z_2) \leq \varrho(Z_1) + \varrho(Z_2)$

De hecho, el riesgo de dos carteras juntos puedes peor que sumando por separado los dos riesgos: es la diversificación principio.

Homogeneidad positiva

$\mathrm{If}\; \alpha \ge 0 \; \mathrm{and} \; Z \in \mathcal{L} ,\; \mathrm{then} \; \varrho(\alpha Z) = \alpha \varrho(Z)$

Hablando libremente, si el doble su cartera y luego doble el riesgo.

Invariancia de traducción

If $A$ es una cartera determinista con retorno garantizado $a$ y $Z \in \mathcal{L}$ Entonces

$\varrho(Z + A) = \varrho(Z) - a$

La cartera $A$ es sólo la adición de efectivo $a$ a su cartera $Z$. En particular, si $a=\varrho(Z)$ Entonces $\varrho(Z+A)=0$.

Medidas de riesgo convexo

La noción de coherencia se ha relajado posteriormente. De hecho, las nociones de Sub-aditividad y homogeneidad positiva pueden ser sustituidas por la noción de convexidad:

Convexidad

$If \ Z_1,Z_2 \in \mathcal{L}\text{ and }\lambda \in [0,1] \text{ then }\varrho(\lambda Z_1 + (1-\lambda) Z_2) \leq \lambda \varrho(Z_1) + (1-\lambda) \varrho(Z_2)$

Marco general de transformación de Wang

Wang transformación de la función de distribución decumulative

Una transformación de la función de distribución decumulative de Wang es una función creciente $g \colon [0,1] \rightarrow [0,1]$ donde $g(0)=0$ y $g(1)=1$. Esta función se llama función de distorsión o función de transformación de Wang.

El función dual de la distorsión es $\tilde{g}(x) = 1 - g(1-x)$. Dado un espacio probabilístico $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, entonces para cualquier variable aleatoria $X$ y cualquier función de distorsión $g$ podemos definir un nuevo medida de la probabilidad $\mathbb{Q}$ tal que para cualquier $A \in \mathcal{F}$ se deduce que $\mathbb{Q}(A) = g(\mathbb{P}(X \in A)).$

Principio actuarial premium

Para cualquier función cóncava creciente de transformación Wang, podríamos definir un principio prima correspondiente: $\varrho(X)=\int_0^{+\infty}g\left(\bar{F}_X(x)\right) dx$

Medida de riesgo coherente

Una medida coherente de riesgo podría ser definida por una transformación de Wang de la función de distribución decumulative $g$ y si sólo si $g$ es cóncavo.

Ejemplos de medida de riesgo

Valor en riesgo

Es bien sabido valor en riesgo No es, en general, una medida de riesgo coherente ya que no respeta la propiedad sub-aditividad. Una consecuencia inmediata es valor en riesgo podría desalentar la diversificación. Valor en riesgo Sin embargo, es coherente, bajo el supuesto de elíptico distribuidos las pérdidas (ej.: distribuye normalmente) cuando el valor de la cartera es una función lineal de los precios de los activos. Sin embargo, en este caso el valor en riesgo llega a ser equivalente a un enfoque de media-varianza donde el riesgo de una cartera se mide por la variación de la rentabilidad de la cartera.

Es la función de transformación Wang (función de distorsión) para el valor en riesgo $g(x)=\mathbf{1}_{x\geq 1-\alpha}$. La no-concavidad de $g$ demuestra la coherencia no de esta medida de riesgo.

Ilustración

Como un ejemplo simple para demostrar la no-coherencia de value-at-risk considere mirando el VaR de un portafolio de confianza del 95% durante el próximo año de dos por defecto-able denominados bonos de cupón cero que maduran dentro de 1 años en nuestra moneda numeraria.

Supongamos la siguiente:

• El rendimiento actual de los dos bonos es 0%
• Los dos bonos son de diferentes emisores
• Cada bonos tiene un 4% probabilidad de incumplimiento durante el próximo año
• El caso de incumplimiento de cualquier vínculo es independiente del otro
• En caso de incumplimiento los bonos tienen una tasa de recuperación del 30%

Bajo estas condiciones el 95% VaR para la celebración de cualquiera de los bonos es 0 puesto que la probabilidad de impago es inferior al 5%. Sin embargo si llevamos a cabo un portafolio que consistió en un 50% de cada bono por valor de entonces el 95% VaR es 35% desde la probabilidad de que al menos uno de los bonos impagos es 7.84% que supera el 5%. Esto viola la propiedad sub-aditividad mostrando que el VaR no es una medida de riesgo coherente.

Promedio del valor en riesgo

El promedio del valor en riesgo (a veces llamado déficit esperado o valor en riesgo condicional) es una medida coherente de riesgo, aunque se deriva de valor en riesgo que no es.

Entrópico valor en riesgo

El entrópico valor en riesgo es una medida de riesgo coherente.

Cola de valor en riesgo

El cola de valor en riesgo (o expectativa condicional de la cola) es una medida de riesgo coherente sólo cuando la distribución subyacente es continua.

La función de transformación Wang (función de distorsión) para el cola de valor en riesgo es $g(x)=\min(\frac{x}{\alpha},1)$. La concavidad de $g$ Comprueba la coherencia de esta medida del riesgo en el caso de distribución continua.

Medida proporcional del riesgo peligro (PH)

La medida del riesgo de PH (o medida del riesgo riesgo proporcional) transforma las tarifas hasard $\scriptstyle \left( \lambda(t) = \frac{f(t)}{\bar{F}(t)}\right)$ utilizando un coeficiente $\xi$.

La función de transformación de Wang (función de distorsión) para la medida del riesgo PH es $g_{\alpha}(x) = x^{\xi}$. La concavidad de $g$ If $\scriptstyle \xi<\frac{1}{2}$ Comprueba la coherencia de esta medida de riesgo.

Muestra de la función de transformar Wang o distorsión

medidas de riesgo g-entrópico

medidas de riesgo g-entrópico son una clase de medidas de riesgo información teórica coherente que involucran algunos casos importantes como el CVaR y EVaR.

La medida del riesgo Wang

El medida del riesgo es de Wang para definir la siguiente función de transformación de Wang (función de distorsión) $g_{\alpha}(x)=\Phi\left[ \Phi^{-1}(x)-\Phi^{-1}(\alpha)\right]$. La coherencia de esta medida de riesgo es una consecuencia de la concavidad de $g$.

Medida del riesgo entrópica

El medida del riesgo entrópica es una medida de riesgo convexo que no es coherente. Se relaciona con la utilidad exponencial.

Precio Superhedging

El precio superhedging es una medida de riesgo coherente.

Conjunto de valores

En una situación con $\mathbb{R}^d$-valorado carteras que riesgo puede medirse en $n \leq d$ de los activos, entonces un conjunto de carpetas es la forma correcta de representar riesgo. Medidas de riesgo conjunto de valores son útiles para los mercados con costos de transacción.

Propiedades

Una medida de riesgo coherente valores de conjunto es una función $R: L_d^p \rightarrow \mathbb{F}_M$, donde $\mathbb{F}_M = \{D \subseteq M: D = cl (D + K_M)\}$ y $K_M = K \cap M$ donde $K$ es una constante cono de solvencia y $M$ es el conjunto de carpetas de la $m$ bienes de referencia. $R$ debe tener las siguientes propiedades:

Normalizado

$K_M \subseteq R(0) \; \mathrm{and} \; R(0) \cap -\mathrm{int}K_M = \emptyset$

Traslativo de M

$\forall X \in L_d^p, \forall u \in M: R(X + u1) = R(X) - u$

Monotono

$\forall X_2 - X_1 \in L_d^p(K) \Rightarrow R(X_2) \supseteq R(X_1)$

Sublinear

Medida del valor conjunto convexo riesgo

Si en lugar de la propiedad sublinear,R es convexo, entonces R es una medida de valor conjunto convexo riesgo.

Representación doble

A bajar semi-continuo medida del riesgo convexo $\varrho$ puede ser representado como

$\varrho(X) = \sup_{Q \in \mathcal{M}(P)} \{E^Q[-X] - \alpha(Q)\}$

tal que $\alpha$ es un función de la pena y $\mathcal{M}(P)$ es el conjunto de medidas de probabilidad absolutamente continua con respecto a P (el "mundo real" medida de la probabilidad), es decir, $\mathcal{M}(P) = \{Q \ll P\}$.

A bajar semi-continuo medida del riesgo es coherente si y sólo si se puede representar como

$\varrho(X) = \sup_{Q \in \mathcal{Q}} E^Q[-X]$

tal que $\mathcal{Q} \subseteq \mathcal{M}(P)$.

Véase también

• Métricas de riesgo -el concepto abstracto que cuantifica una medida del riesgo
• RiskMetrics -un modelo de gestión de riesgos
• Medida del riesgo espectral -un subconjunto de medidas de riesgo coherentes
• Medida del riesgo de distorsión
• Valor en riesgo condicional
• Entrópico valor en riesgo
• Riesgo financiero

Enlaces externos

• Una lista de documentos importantes en medidas de riesgo coherentes y convexo

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