Medida del riesgo dinámico

En matemáticas financieras, un medida del riesgo condicional es un variable aleatoria de la riesgo financiero (particularmente la riesgo) como si se ha medido en algún momento en el futuro. A medida del riesgo puede ser considerado como una medida de riesgo condicional en lo trivial Álgebra Sigma.

A medida del riesgo dinámico es una medida de riesgo que se ocupa de la cuestión de cómo se relacionan las evaluaciones de riesgo en diferentes momentos. Puede ser interpretado como una secuencia de medidas de riesgo condicional.

Medida del riesgo condicional

Una asignación $\rho_t: L^{\infty}\left(\mathcal{F}_T\right) \rightarrow L^{\infty}_t = L^{\infty}\left(\mathcal{F}_t\right)$ es una medida del riesgo condicional si tiene las siguientes propiedades:

Invariancia condicionadas

$\forall m_t \in L^{\infty}_t: \; \rho_t(X + m_t) = \rho_t(X) - m_t$

Moniticidad

$\mathrm{If} \; X \leq Y \; \mathrm{then} \; \rho_t(X) \geq \rho_t(Y)$

Normalización

$\rho_t(0) = 0$

Si es un condicional medida del riesgo convexo Entonces también contará con la propiedad:

Convexidad condicional

$\forall \lambda \in L^{\infty}_t, 0 \leq \lambda \leq 1: \rho_t(\lambda X + (1-\lambda) Y) \leq \lambda \rho_t(X) + (1-\lambda) \rho_t(Y)$

Un condicional medida de riesgo coherente es una medida de riesgo condicional convexo que además satisface:

Homogeneidad positiva condicional

$\forall \lambda \in L^{\infty}_t, \lambda \geq 0: \rho_t(\lambda X) = \lambda \rho_t(X)$

Conjunto de aceptación

Artículo principal: Conjunto de aceptación

El conjunto de aceptación en el tiempo $t$ asociado con un riesgo condicional medida es

$A_t = \{X \in L^{\infty}_T: \rho(X) \leq 0 \text{ a.s.}\}$.

Si tienes dada una aceptación listo al tiempo $t$ luego está la correspondiente medida de riesgo condicional

$\rho_t = \text{ess}\inf\{Y \in L^{\infty}_t: X + Y \in A_t\}$

donde $\text{ess}\inf$ es el infimum esencial.

Propiedad regular

Una medida del riesgo condicional $\rho_t$ se dice que es regular Si lo haces por cualquier $X \in L^{\infty}_T$ y $A \in \mathcal{F}_t$ Entonces $\rho_t(1_A X) = 1_A \rho_t(X)$ donde $1_A$ es el función del indicador en $A$. Cualquier medida normalizada condicional riesgo convexo es regular.

La interpretación de este que el condicional el riesgo en algún nodo futuro (es decir, los Estados financiera $\rho_t(X)[\omega]$) sólo depende de los posibles estados de ese nodo. En un modelo Binomial Esto sería similar a calcular el riesgo en el subárbol bifurcándose desde el punto de que se trate.

Propiedad consistente en tiempo

Artículo principal: Consistencia de tiempo

Una medida de riesgo dinámico es tiempo coherente si y sólo si $\rho_{t+1}(X) \leq \rho_{t+1}(Y) \Rightarrow \rho_t(X) \leq \rho_t(Y) \; \forall X,Y \in L^{0}(\mathcal{F}_T)$.

Ejemplo: precio superhedging dinámico

La dinámica precio superhedging tiene medidas de riesgo condicional de la forma: $\rho_t(-X) = \operatorname*{ess\sup}_{Q \in EMM} \mathbb{E}^Q[X | \mathcal{F}_t]$. Es un resultado ampliamente demostrado que esto es también una medida de riesgo constante de tiempo.

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