Serie de Molien

En Matemáticastt Serie de Molien es un función generatriz conectado a un representación lineal Ρ de un Grupo G en un espacio finito-dimensional del vector V. Cuenta con la polinomios homogéneos de un determinado grado total d son invariantes para G. Se nombra para Theodor Molien.

Formulación

Más formalmente, hay un espacio del vector de estos polinomios, para cada valor dado de d = 0, 1, 2,... y nos escriben n_d para su espacio vectorial de dimensión, o en otras palabras el número de invariantes homogéneos linealmente independientes de un grado determinado. En términos más algebraicas, tome la d-ésimo alimentación simétrica de Vy la representación de G derivados por ρ. Los invariantes forman el subespacio de todos los vectores fijados por todos los elementos de G, y n_d es su dimensión.

La serie de Molien es entonces por definición la serie de energía formal

$M(t) = \sum_d n_d t^d.$

Esto puede ser mirado de otra manera, teniendo en cuenta la representación de G en el Álgebra simétrica de Vy entonces el conjunto bajoálgebra R de G-invariantes. Entonces n_d es la dimensión de la parte homogénea de la R de la dimensión d, cuando lo miramos como anillo graduado. De esta manera una serie de Molien es también una especie de Función de Hilbert. Sin más hipótesis no mucho se pueden decir, pero suponiendo que ciertas condiciones de finitud es posible demostrar que la serie de Molien es un función racional. El caso de grupos finitos se estudia más a menudo.

Fórmula

Molien demostró que

$M(t) = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \frac{1}{\det(I-tg)}$

Esto significa que el coeficiente de t^d en esta serie es la dimensión n_d definido anteriormente. Asume que la característica del campo no se divide |G| (pero aun sin esta hipótesis, fórmula de Molien en forma $|G| \cdot M(t) = \sum_{g\in G} \frac{1}{\det(I-tg)}$ es válido, aunque no ayuda con la informática M(t)).

Ejemplo

Tener en cuenta $S_3$ actuando sobre R³ por permutando las coordenadas. Tenga en cuenta que $\det(I-tg)$ es constante en las clases de GACION, así que es suficiente para tomar uno de cada una de las tres clases de $S_3$; por lo que $\det(I-te) = (1-t)^3,\det(I-t\sigma_2) = (1-t)(1-t^2)$ y $\det(1-t\sigma_3) = (1-t^3)$ donde $\sigma_2=(1,2)$ y $\sigma_3 = (1,2,3)$.

Entonces

$M(t) = \frac16\left(\frac{1}{(1-t)^3} + \frac3{(1-t)(1-t^2)} + \frac{2}{1-t^3}\right) = \frac{1}{(1-t)(1-t^2)(1-t^3)}$

Referencias

• David A. Cox, John B. poco, Donal o ' Shea (2005), Usando geometría algebraica, págs. 295-8
• Molien, TH. (1897). "Uber die Invarianten der linearen Substitutionsgruppen.". Sitzungber. KONIG. Preuss. Akad. Wiss. (J. Berl. BER.) 52:: 1152-1156. SI ES.28.0115.01.
• Mukai, S. (2002). Una introducción a invariantes y módulos. Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas 81. ISBN978-0-521-80906-1.

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